Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Erstes Kapitel.
Punktmengen.
~ 1. Metrische Räume,
Wir nennen eine Menge 91 irgendwelcher Elemente einen metrischen Raum1), wenn jedem Paare von Elementen a, b der Menge 9
eine endliche Zahl r (a, b) zugeordnet ist von folgenden Eigenschaften:
1. r(a, b)=r(b, a),
2. r (a, b) > 0, und zwar = 0 dann und nur dann, wenn a = b.
3. Für je drei Elemente a, b, c von S gilt die Ungleichung2):
r(a,c)<r (, b) +r(b, c)
Wir nennen dann die Elemente von 9S auch Punkte von 9R,
demgemäß die Teile von 91 Punktmengen; ferner heißt r(a,b) der
Abstand von a und b, und die in Eigenschaft 3. auftretende Ungleichung heißt die Dreiecksungleichung. Das Komplement 91-
eines Teiles 9f von 91 zu 91 nennen wir kurz das Komplement
von?2.
Die einfachsten und wichtigsten Beispiele metrischer Räume
sind die e.uklidischen Raume. Wir bezeichnen als den k-dimensionalen euklidischen Raum 91k die Menge aller k-gliedrigen Folgen
1) Der Begriff stammt von M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 17, 30, der
Name von F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 211.
2) Für die meisten Anwendungen genügt folgende Annahme: Es gibt eine
Funktion f(e) der reellen Veränderlichen u mit lim f()=-0, so daß aus:
e=0
r(a,b)<e und r(b,c)<e
folgt:
r (a, c) < f (e).
Vgl. hierüber M. Fr6chet a.a.O. 18 und Rend. Pal. 30 (1910), 22; H. Hahn,
Monatsh. f. Math. 19 (1908), 251.