Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

50 Die reellen Zahlen.
Urbild in 23- % hat, gibt es in 3 - kein Element zwischen 9'
und 21". Das aber ist unmöglich; denn da 9 den Ordnungstypus x
hat, gibt es eine ähnliche Abbildung C von ~2 auf die Menge RS aller
der Größe nach geordneten endlichen reellen Zahlen. Seien W' und
W" die vermöge C aus 1' und 1" entstehenden Teile von S; die
obere Schranke k von k' liegt zwischen k' und k", und ihr entspricht vermöge C ein Element von e, das zwischen 2' und 1" liegt.
Damit ist Satz IV bewiesen.
Aus Satz IV folgt nun bei Berufung auf Satz I, II, III ohne
weiteres:
Satz V. Die Menge aller irrationalen Zahlen eines beliebigen Intervalles (a, b) hat in ihrer natürlichen Anordnung den Ordnungstypus t, ebenso die Menge aller Zahlen
eines Intervalles (a, b), die nicht endliche Systembrüche
einer gegebenen Grundzahl g sind.
Wir beweisen endlich noch:
Satz VI. Ist a eine Ordinalzahl, so gibt es dann und nur
dann eine in ihrer natürlichen Anordnung wohlgeordnete
Menge reeller Zahlen vom Ordnungstypus a, wenn a zur
Zahlklasse 3, oder g, gehört.
In der Tat, hat die Zahlenmenge 21 den Ordnungstypus a, so
gibt es (~ 4, Satz VIII) eine ähnliche Abbildung ihrer Zahlen auf die
Menge aller Ordinalzahlen f < a. Ist Xß die der Ordinalzahl ß zugeordnete Zahl von 21, so ist:
x ß<Xß', wenn ß ß'.
Die Intervalle (xß, xß+1) sind dann zu je zweien fremd; es kann ihrer
also (~ 5, Satz II) nur abzählbar viele geben. Es gibt also auch nur
abzählbar viele ß< a, d.h. a gehört zu 3, oder 32.
Nehmen wir umgekehrt an, a gehöre zu 31 oder E3. Wir führen
den Nachweis, daß es dann eine Zahlenmenge 21 gibt, die in natürlicher Anordnung den Ordnungstypus a hat, durch Induktion (~ 4,
Satz XIX).
Die Behauptung ist richtig für ca 0.
Angenommen, sie sei richtig für jedes cc'<ac, wo a eine Zahl
aus x 1-82 (d.h. <co1). Ist a eine isolierte Zahl, so gibt es
dann eine Zahlenmenge vom Ordnungstypus a - 1. Indem wir nötigenfalls eine ähnliche Abbildung von [- oo, +oo] auf [0, 1] vornehmen, können wir annehmen, sie liege in [0, 1]. Fügen wir ihr
dann als Xa noch eine Zahl > 1 hinzu, so erhalten wir eine Menge
vom Ordnungstypus a.