Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

48 Die reellen Zahlen.
nach ~ 2, Satz VI und II. Sie hat kein erstes und kein letztes
Element; denn ist r irgendeine rationale Zahl aus (a, b), so gibt es
nach ~ 5, Satz I ein rationales r' und r", so daß:
a < r < r <r" < b.
Sind ferner r' < r" zwei beliebige rationale Zahlen aus (a, b), so gibt
es zwischen ihnen ein rationales r:
r'<r <r".
Damit sind die Voraussetzungen von Satz I, ~ 3 verifiziert, und Satz I
ist bewiesen.
Ganz ebenso beweist man:
Satz II. Die Menge aller der Größe nach geordneten endlichen Systembrüche von gegebener Grundzahl im Intervalle (a, b) hat den Ordnungstypus y.
Wir bezeichnen mit x den Ordnungstypus der Menge aller der
Größe nach geordneten, endlichen, reellen Zahlen. Dann gilt:
Satz III. Die Menge aller, der Größe nach geordneten
Zahlen eines beliebigen Intervalles (a, b) hat den Ordnungstypus x.
In der Tat, sind a <b endlich, so ist durch
2x -b- a
x = tg n
2 (b - a)
eine ähnliche Abbildung von (a, b) auf (-oo, - oo) gegeben, durch:
x' lg (x - a) bzw. x'=- lg (b - x)
eine ähnliche Abbildung von (a, +oo) und von (-oo, b) auf (-oo, +-oo),
womit Satz III bewiesen ist.
Wir bezeichnen mit t den Ordnungstypus der Menge aller der
Größe nach geordneten irrationalen Zahlen.
Satz IV. Sei ö eine Menge vom Ordnungstypus x, 2I einer
ihrer Teile von folgenden Eigenschaften:
1. 9 hat den Ordnungstypus l;
2. zwischen je zwei Elementen von S liegt mindestens
eines von 91;
dann hat 3 -9/ den Ordnungstypus t.
In der Tat, da 9 den Ordnungstypus r hat, gibt es (~ 3, Satz I)
eine ähnliche Abbildung A von 9 auf die Menge 9S der ihrer Größe
nach geordneten rationalen Zahlen; sei ra die durch A dem Elemente a
von S9 zugeordnete rationale Zahl.