Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

588 Die meßbaren Funktionen.
meßbar. Aus ' < 91' folgt nun aber wegen der Eineindeutigkeit von A auch
S3< 9]. Wegen t;,*(91) 0 muß also:
(***) A tk () == o
sein. Wegen (**) und (***) kann dann nach Satz I A nicht regulär sein, und
Satz III ist bewiesen.
Sind insbesondere 2 und 1' Intervalle des 91, ist z. B. 9l das Intervall
[a, b], so ist der Begriff einer eineindeutigen stetigen Abbildung von S: auf 9t'
gleichbedeutend mit dem Begriffe einer in [a, b] stetigen und stets wachsenden
(oder stets abnehmenden) Funktion f(x). Mit Hilfe dieser Funktion f(x) enthält man eine sehr einfache Bedingung dafir, daß eine solche Abbildung
regulär sei. Wir gehen aus von der Bemerkung:
Satz IV. Sei die Funktion f(x) stetig und monoton wachsend
im Intervalle (a,b). Bedeutet 6(91) den äußeren Zuwachs von f
auf 21 (Kap. VII, ~ 1, S. 470), und ist W' das Bild von 1 vermöge der
Abbildung y-f(x), so ist für jede Menge 2f aus (a,b):
6 (OW) =,i (W').
In der Tat, dies ist richtig, wenn 21 ein Intervall (a', b') ist, denn dann ist:
6 (-) - f(b') - f(a'); y (W') - f(b') -- f(a').
Es ist also auch richtig, wenn 9f eine beschränkte offene Menge, d. h. Summe
abzählbar vieler offener Intervalle ist.
Sei nun 91 eine beliebige Menge aus (a, b). Nach Definition ist dann1)
ö (21) die untere Schranke von 6 (~) für alle 9. enthaltenden offenen Mengen ~.
Ist )' das Bild von 0 vermöge y =f(x), so folgt aus 9- < 0 auch 9I'< )'
und somit
/% (9I')- _< ( ') = 6 (0).
Es ist also:
(,.) () (.
Andererseits ist jede S' enthaltende offene Menge 0' Bild einer st enthaltenden offenen Menge 0, und da p, (W') untere Schranke von /, (0')= 6(0)
(>ö ((2)) für alle %9' enthaltenden offenen Mengen 0' ist, so ist auch umgekehrt
womit Satz IV bewiesen ist.
Nun erhalten wir sofort das gewünschte Resultat:
Satz Y2). Sei f(x) eine in [a, b] stetige, monoton wachsende
Funktion. Damit die Abbildung y=f(x) regulär sei, ist notwendig
und hinreichend, daß f(x) totalstetig sei in [a,b].
In der Tat, durch Anwendung von Satz IV3) lehren Satz I und II, daß
1) Da f monoton wächst, ist der äußere Zuwachs 6 nichts anderes als der
äußere Absolutzuwachs a von f.
2) H. Rademacher, a. a. 0. 266. Vgl. auch H. Hahn, Monatsh. f. Math.
23 (1912), 163.
3) Dabei ist unter dem offenen Intervalle (a, b) von Satz IV irgendein
das abgeschlossene Intervall [a, b] von Satz V enthaltendes offenes Intervall
(c, d) zu verstehen, auf das die Definition von f (x) durch die Vorschrift:
f(x)==f(a) für x<a; f(x) f(b) für x>b;
erweitert wird.