Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 7. Meßbare und reguläre Abbildungen. 587
ebenso wie 91, ein Nullteil von 92, und mithin k-dimensional-meßbar. Da A
regulär, widerspricht dies der Tatsache, daß das Bild B' von 35 nicht
k-dimensional-meßbar ist, und Satz I ist bewiesen.
Die Bedingung von Satz I ist nicht hinreichend1), sie wird es aber, wenn
wir uns auf stetige Abbildungen beschränken.
Satz II. Damit die stetige Abbildung A der Punktmenge 51
des ~9, auf die Punktmenge X' des 91k regulär sei, ist hinreichend,
daß sie jeden Nullteil von 9f abbilde auf einen Nullteil von W9'.
Sei in der Tat S3 ein k-dimensional-meßbarer Teil von gf. Es gibt
dann (Kap. VI, ~ 8, Satz IV) in SB eine a-Vereinigung S, so daß:
(*) k( -SS)=0.
Die Menge S hat als a-Vereinigung die Gestalt:
B —2= j ^+*.q q-... x..,
wo die 9v abgeschlossen; sie können ohne weiteres auch als beschränkt
angenommen werden. Dann aber ist (Kap. II, ~ 6, Satz II) das Bild A (s2v)
gleichfalls abgeschlossen, und wegen:
A ()== A (O) +- A (2+.,)...+A ( ) +-...
ist A ($S) k- dimensional-meßbar. Nach Voraussetzung, ist nun wegen (*) auch
A (5 - 3) eine Nullmenge, und somit k-dimensional-meßbar, also ist wegen:
A (3) = A ($S) +- A (3- S)
auch A (e).k-dimensional-meßbar, und Satz II ist bewiesen.
Setzen wir die Abbildung A nicht nur als stetig, sondern auch als eineindeutig voraus, so können wir Satz I ein wenig verschärfen:
Satz III. Damit die eineindeutige2) stetige Abbildung A der
k-dimensional-meßbaren Punktmenge gr des 9k auf die Punktmenge A5' des R91 regulär sei, ist notwendig, daß A jeden Teil 91
von 91, für den /k*(9)-=0 ist, abbilde auf einen Teil W' von Ar', für
den gleichfalls tk*,(91')=0.
Sei in der Tat 9W ein Teil von 9X mit,t7*(91) =0, und sei 9S' das Bild
von 91 vermöge A. Wäre,,k* ( ') > 0,
so gäbe es in 9' einen abgeschlossenen Teil e', so daß auch:
(**) 'Ak (Ei) > 0.
Das Urbild S von 53' ist nach Kap. II, ~ 6, Satz III abgeschlossen in 92, und
mithin, als Durchschnitt von ti mit einer abgeschlossenen Menge, k-dimensional1) Beispiel im 9t: Sei t3 ein nicht meßbarer Teil von [0, 1]. Wir
definieren die Abbildung A von [0, 1] durch:
A (x) x wenn x in S3,
A (x) ' -x wenn x in [0,1] - -.
Diese Abbildung ist eineindeutig, und bildet jede Nullmenge aus [0, 1] auf
eine Nullmenge ab, aber sie ist nicht regulär, denn das Bild von [0, 1] ist
nicht meßbar.
2) H. Rademacher (a. a.O. 205) spricht den Satz ohne diese einschränkende Voraussetzung aus, benützt sie aber beim Beweise. Ob der Satz auch
ohne diese Einschränkung gilt, steht dahin.