Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen. 585
Nach Kap. VII, ~ 12, Satz V gibt es eine in [0, 1] monoton wachsende, zu 9
gehörige streckenweise konstante (aber nicht durchweg konstante) Funktion g().
Wir bilden
F(x)g==(x) +x.
Indem wir nötigenfalls F (x) ersetzen durch a F(x) - b, können wir annehmen:
F(0)=0; F(1)=1.
Sei ) die durch y = F (x) aus W hervorgehende Menge, und sei D eine 9X
enthaltende offene Menge aus (0, 1). Als offene Menge des NR ist ) Summe abzählbar vieler offener Intervalle, und da 9D abgeschlossen, gibt es nach dem
Borelschen Theorem unter diesen endlich viele: (y', y") (v —1, 2,.., n), in
deren Vereinigung D1 enthalten ist. Da F(x) stets wachsend ist, so gibt es
in [0, l] je einen und nur einen Punkt x' bzw. x", so daß:
-F(g4); y -( ).
Da W in der Vereinigung der Intervalle (x,, x,) enthalten ist, und g(x) in
jedem zu. komplementären Intervalle konstant ist, so haben wir:
(g (x) g (')) g (1)- g () >
Nun ist aber
(D) 2 (y"' - y')== (F() - F (X)) > (g (X - ()),
v=i v=1,v=1
und daher:
1 (D>) >g (1) -g (0)
für alle 9) enthaltenden offenen Mengen. Nach Kap. VI, ~ 8, Satz V ist
daher auch:,,1 (Wo) > g (1)- g () >0,
und Satz V ist bewiesen.
Betrachten wir nun die Umkehrfunktion f(y) der Funktion F(x) von
Satz V,' durch die jedem Werte y aus [0, 1] der Wert x aus [0, 1] zugeordnet
wird, in dem
y = F(x)
ist, so sehen wir, indem wir das Argument y von f (y) wieder durch x ersetzen:
Satz VL Es gibt stetige Funktionen.f(x), die im Intervalle [0, 1
des N1 stets wachsen, und derart, daß eine Menge D9 aus [0,1]
von positivem Inhalte durch y=f(x) abgebildet wird auf eine
Menge W9 des linearen Inhaltes 0.
Und nun beweisen wir, in Ergänzung zu ~ 2, Satz VII:
Satz VII. Durch Zusammensetzung zweier linear-meßbarer
Funktionen kann eine linear nicht-meßbare Funktion entstehen.
Haben in der Tat f(x), 9)1, W9 dieselbe Bedeutung wie in Satz VI, so
gibt es nach ~ 5, Satz VI in Y9) einen nicht -meßbaren Teil 9D)'. Er wird
durch y —f (x) abgebildet auf einen Teil 9' von 91, und aus yu (9W) -0 folgt
auch,9 (W') ==0, und 9W' ist meßbar. Definieren wir also eine Funktion g (y)
durch:
g (y)= l auf W', g (y)= 0 außerhalb 9',
so ist g (y) meßbar. Bilden wir nun die zusammengesetzte Funktion g (f(x)),