Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen. 583
Satz III. Es gibt unstetige Lösungen der Funktionalgleiohung (0) ).
In der Tat, auf S reduziert sich die Funktion (*) auf f(b), und da f(b)
auf g willkürlich war, haben wir nur zu zeigen, daß es auf B unstetige
Funktionen gibt, d. h. daß es einen zu 23 gehörigen Häufungspunkt von SB
gibt. Nun ist aber B nicht abzählbar (denn wäre B abzählbar, so gäbe
es auch nur abzählbar viele in der Form (00) darstellbare Zahlen, während
jede Zahl so darstellbar ist), also gibt es nach Kap. I, ~ 7, Satz XIV einen
zu 5B gehörigen Häufungspunkt von 5B, und Satz III ist bewiesen.
Satz IV. Eine unstetige Lösung von (0) ist nicht linear-meßbar.
Sei in der Tat f(x) eine unstetige Lösung von (0). Für rationales x
ist, wie aus (0) folgt:
f(x)=f(l).x.
Daher ist f(x) —f(1) x eine unstetige Lösung von (0), die für alle rationalen x
den Wert 0 hat. Und da f(x) und f(x) -f(1) x gleichzeitig linear-meßbar
sind oder nicht, können wir von vornherein annehmen, es sei:
(t) f(x), 0 für rationales x.
Wir nehmen an, f(x) sei meßbar, und zeigen, daß dies auf einen Widerspruoh führt.
Seien t, S, ( die Mengen aller Punkte des 91, in denen f>, f<0,
f= 0, und seien 1b, Sb, ba die Durchschnitte von 2, SB, X mit [a, b]. Alle
diese Mengen sind nach Annahme meßbat. Keine der Mengen 91, eS, ( ist
leer: denn ( enthält alle rationalen x; t-4-+S ist nicht leer, weil f unstetig
und mithin nicht == 0 für alle x ist, und da, wie (0) zeigt, durch die Transformation 5 -=-x Z2 in S übergeht, kann weder S2 noch S leer sein. -
Endlich ist jede der Mengen?9, S, (E dicht im 9,; denn ( enthält alle rationalen x, und es wird, wenn r irgendeine rationale Zahl bedeutet, durch
x= x + r sowohl 1 als 53 in sich übergeführt, da wegen (0) und (t):
f (x - r)= f(x)+ f (r) f (x).
Wir zeigen nun: für jedes Intervall [a, b] ist:
(tt) 1 (c ) = (5 ).
Da [a, b] Vereinigung einer monoton wachsenden Folge von Intervallen [av, bv]
mit rationalen Endpunkten ist, genügt es, (tt) unter der Annahme zu beweisen, a und b seien rational. Dann ist wegen (t):
r ( - b) _0
und somit wegen (0):
f ri +x-b)-f(a ')
a+b
Durch die Transformation = — (a + b) - x wird also. 2 in 5 3 und %b
a+b 2 a
in Ba2 übergeführt, woraus (tt) unmittelbar folgt.
~) Mit unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung (0) beschäftigte sich
zuerst R. Volpi, Giorn. di mat. 35 (1897), 104. Vgl. auch E. Noether, Math.
Ann. 77 (1915), 542.