Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

578 Die meßbaren Funktionen.
Als beschränkte offene Menge des 91 ist 0 Summe abzählbar vieler
Intervalle (av, bv) (Kap. I, ~ 7, Satz IX). In (av, bv) gibt es nach Satz II
eine Menge 2l, für die:
i* (t) = 0; 1 (2) = q (b - a).
Setzen wir:
S= + S +. 2 -.t, +...,
so ist nach Kap. VI, ~ 6, Satz XIX:
(tt), (2) ==0; = J (2t) -= q (b -a~) = q ) (D).
Da St1 meßbar, ist:
WM (i) = (t 1) + 1, (t2 () -- ( )).
Wegen (t) ist hierin:
1 (Sh (i - h))< ~,
also wegen (tt)
(ttt) m1 (t r) > i-) (W- - q () - > q ()- -
Ist nun p irgendeine positive Zahl < q, so kann hierin das beliebige s so
klein gewählt werden, daß:
q l (E)-~ > p 1 (Em),
und wir haben aus (ttt):
1 (E. *m) > P m (S)Bezeichnen wir nun mit 3x den ins Intervall [- x, x] fallenden Teil von
91. 9)1, so ist u, (ex) eine stetige Funktion von x, die von 0 bis i1 (- rt) wächst,
wenn x von 0 bis + oo wächst. Es gibt also einen Wert x von x, für den:
fL (Fx) v=p. (9)).
Wegen der ersten Gleichung (tt) aber ist:
Fi* (5o) = 0,
womit Satz III bewiesen ist.
Satz IV. In jeder linear-meßbaren Menge 9)1 des 9i1 gibt es zu
einander komplementäre Teile 9 und 9S- 9, so daß:
1 (W)= o;.,*(mX- )= O.
Wir führen den Beweis zunächst für beschränktes S9). Es gibt nach
Satz III einen Teil 1y von m, so daß:,1* () = 0; (e) =-P' (9)-).
Sei 9)1 ein meßbarer Teil von 91, der maßgleiche Hülle von QS ist. Dann ist:
(0),h (9 - 91) == i (E) - t ( (1) =( -P) ().
Nach Satz III gibt es in m -,91 einen Teil 238, so daß:
(00),1* (2) = 0;, p (2-) =.)ip (9) - 1)) =p (1 -) 1 (D9).
Sei 92 ein meßbarer Teil von 91- 91, der maßgleiche Hülle von Js, ist.
Dann ist wegen (0) und (00):
1 (9) - 9 - 9)2) = 1 (9) - 9) - 1 (5) = (I p)2 1 ()). *
Nach Satz III gibt es in 9J -- 1 - 1m einen Teil a, so daß:
1* (m3) -=; Y1 (m3) = P U (9m1- 9 )1 - t12p =p (1 — p)2 ()).