Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 5. Nicht-meßbare Punktmengen. 577
und ebenso:
und somit folgt aus (***) die behauptete Gleichheit (**). Und daraus
folgt weiter: Ist eine Menge 9,,~ linear-meßbar, so gilt dies
für alle (m==0, —1, +2,...), und es hat q(9tm,) für alle m
denselben Wert.
Das aber ist unmöglich; denn wegen
+00
(***) [o,1)- S 1L~
müßte dann:
+oo
mgu = - co
sein, was nicht sein kann, wenn alle t,! (9,,,) denselben Wert haben.
Die Annahme, m,, sei linear-meßbar, führt also auf einen Widerspruch,
und wir sehen:
Satz I. Es gibt im 9i, Punktmengen, die nicht linearmeßbar sind.
Wir können diese Aussage noch ein wenig präzisieren. Ganz ebenso, wie
oben (**) bewiesen wurde, zeigt man') für die inneren Inhalte:..i( ()x,~) = #, (Sm,,-_ ).
Es haben also alle p, (VtY) denselben Wert, und da wegen (***) nach Kap. VI,
~ 6, Satz III:
* (- - n) O
n == -co
ist, ist notwendig:
i*, () = 0.
Setzen wir noch:
[~ (,n) -=,
und verwandeln wir das Intervall [0, 1], in dem 9YR,, lag, durch Ähnlichkeitstransformation in irgendein Intervall der Länge 1, so sehen wir:
Satz II. Es gibt ein q>0 (und ~1), so daß in jedem Intervalle
des tfl von der Länge 1 eine Menge 2[ liegt, für die:, (A)= o, X (= ) = q'.
Wir können dies Resultat sofort verallgemeinern:
Satz III. Es gibt ein pO>0 (und ^1), so daß in jeder linearmeßbaren beschränkten Menge g des i, ein Teil S liegt, für den:, (02)= O, 0P (~) '=. (S). -
In der Tat, zur meßbaren Menge SO- gibt es (Kap. VI, ~ 8, Satz V), wenn
e > 0 beliebig gegehen, eine beschränkte, offene, s1D enthaltende Menge Z, für die:
(t) (0) < + ().
1) Unter Berufung auf Kap. VI, ~ 6, Satz XIX.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 37