Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

576 Die meßbaren Funktionen.
Sei x' der ausgezeichnete Punkt von 9)((x). Dann ist nach Definition von RS (x):
x'==x + f(x) - + g (x),
wo f(x) und g(x) in [0, 1) eindeutig definierte Funktionen sind, die
nur ganzzahlige Werte annehmen. Wir bezeichnen mit 9)m die
Menge aller Punkte von [0, 1), in denen f(x) m, und behaupten:
Die Menge 93m ist nicht linear-meßbar.
Wir zeigen zunächst: Wäre )J,, linear-meßbar, so wäre auch
l)m — linear-meßbar, und es wäre:
(**) mU (sm)-=u (U-M1)'
Wir nehmen also an, 9)m sei linear-meßbar und bezeichnen mit
)m und 9)" den nach [0, 1 - ) bzw. nach [1 - a, 1) fallenden Teil
von 9.lm, mit 9)-1 und 9-1 den nach [ac, 1) bzw. nach [0, a)
fallenden Teil von 91m-l' Dann ist:
(** ) Ä) = 9,, +; J1_-i m — + Yt'-in
Wir behaupten: durch die Parallelverschiebung x + cx - geht 9,,'
in 9'm-), über, durch die Parallelverschiebung x + =x - 1 geht
9)m1 in 93-1i über. Es wird genügen, die erste dieser beiden Behauptungen zu beweisen.
Sei x ein Punkt von 9lm'. Die Mengen 9 (x) und 9 (x + c)
sind offenbar identisch, daher auch ihre ausgezeichneten Elemente,
d. h. es ist:
x +- m.a g (x)= + -x + f(x + ) c.a + g (x + a),
woraus durch Vergleichung der Koeffizienten von a folgt:
f(x + cc) - - m.
Es gehört also x+ a zu '-i, d.h. durch x=-+c- wird jeder
Punkt von s)t' in einen Punkt von 9)'-1 übergeführt. Sei nun x
irgendein Punkt von 94'-i. Die Mengen S9 (X) und 9 (x — a) sind
identisch; die Gleichheit ihrer ausgezeichneten Elemente ergibt:
x -+ (m - ) a 4 g (x) = — x - a + f(x -- a). a + g ( -- a),
mithin:
f( — a)=m,
es gehört also 5- a zu 9)', d. h. durch die zu x-=x a inverse
Transformation wird jeder Punkt von 9' -1 in einen Punkt von 'm
übergeführt. Damit ist aber gezeigt, daß die Parallelverschiebung
x- + -a die Menge )' in 'J-1i überführt, wie behauptet.
Daraus nun folgt:
/t = Zn 1),