Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 4. Asymptotische Konvergenz. 573
Wir geben uns zum Beweise zwei eigentlich konvergente Reihen
aus positiven Zahlen vor:
(t) ql + 2- + '''+ i +" - q i ' ' "; e + - '' + ei -" '
und setzen:
9i, v, =.( i f1 - f ~_> q,).
Nach Voraussetzung gibt es dann ein vi, so daß:
(tt) (fi,,,, ) < ei für v _ i, v'> i;.dabei können wir immer annehmen:
Vi+l > Vi.
Setzen wir:
-i i,, vi irl L ~i+l, ' i+l,i+ v + + * i *+ i+e, Vi+e, 'i+e+l+...
so ist wegen (tt):
(Wi) < + + * * * + Ei+e+...,
und somit wegen der eigentlichen Konvergenz der zweiten Reihe (t):
(ttt) lim (9I) - 0.
In jedem Punkte von 9f -Wi gelten die sämtlichen Ungleichungen:
I fvi-fi+l I < qi;
\ fvin - fYi+2 1 < qi+1 ) * F F I fvfe - fti+e+ j < 4i+ >
und somit, wenn j i, wegen:
f3fe i- < ffj - fj + I f+ l -1f2 + *-. 2 + fvj+e fvl+el)
auch die Ungleichung:
I, fvvj+,e <qj + qj+ + q.+ +e +-
Wegen der eigentlichen Konvergenz der ersten Reihe (t) folgt daraus: Zu jedem 0>O gibt es ein jo, so daß auf ganz 9f- i:
Ifv- fvjfj+e< für j jJ und e ==1,2,...
Das aber heißt: Die Folge {fj} ist eigentlich gleichmäßig konvergent
auf 9- i. Wegen (ttt) ist sie also wesentlich-gleichmäßig konvergent auf 91, und Satz V ist bewiesen.
Nunmehr sind wir in der Lage, die Umkehrung von Satz IV
zu beweisen:
Satz VI. Unter den Voraussetzungen von Satz V gibt
es eine endliche auf 9 99-meßbare Funktion f, gegen die
{f,} asymptotisch auf 9 konvergiert.