Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

572 Die meßbaren Funktionen.
d. h. es ist (für jedes v):
7_
Wegen (***) können also die beiden Beziehungen:
lim m(I -fl )) 0; lim i e (If,(| ]-f*2l -)) - 0
nicht gleichzeitig bestehen; d. h. (da m3 von endlichem p9-Maße
ist): Es konvergiert {f,} nicht asymptotisch gegen die beiden Funktionen f und f*, entgegen der Voraussetzung. Damit ist Satz III
bewiesen.
Satz IV. Ist X9 von endlichem qp-Maße, und ist {f}, eine
Folge endlicher Funktionen, die asymptotisch auf 91 gegen
eine endliche Funktion f konvergiert, so gibt es zu jedem
e > 0 und q> 0 ein v., so daß:
(0) (9(für | -fv q))<e fr >YOv'vO.
In der Tat, wegen:
I f- tfl_[ r,- f-f+lf f- fl
ist:
(00) f(If(-f_ ] )-<o(if- | | )+([f- 2)|
Wegen der asymptotischen Konvergenz von {f"} gegen f gibt es
ein Yo, so daß:
(00(0) (ltf~-fl 2|))<^ für v~vO;
( (lfI'- f|2|))<2 für v'v.
Aus (00) und (000) aber folgt (0), und Satz IV ist bewiesen.
Um auch die Umkehrung von Satz IV beweisen zu können,
bedürfen wir des folgenden Hilfsatzesl):
Satz V. Ist {f,} eine Folge auf 9f p-meßbarer und endlicher Funktionen, und gibt es zu jedem e>0 und q>0
ein vo, so daß:
(9(] fv-f:', | q)) <E für v O, v'>v,
so gibt es in {fV} eine Teilfolge {fi.}, die auf 91 wesentlichgleichmäßig konvergiert.
F) Fr. Riesz, a. a.O.; s. auch H. Weyl, Math. Ann. 67 (1909), 243.