Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. 567
Folge {fi} auf 9f stetiger Funktionen, so daß überall auf 9/,
abgesehen von einer Nullmenge:
(t) f =Z -lim fi.
i=-so
Sei in der Tat f* eine zu f äquivalente Funktion höchstens
zweiter Klasse (Satz VIII). Nach Satz VII gibt es eine Folge auf 9C
stetiger Funktionen {fi, so daß überall auf X9, abgesehen von einer
Nullmenge:
f*- lim f.
Da aber f' f*, gilt auch (t) überall auf 91, abgesehen von einer
Nullmenge, und Satz X ist bewiesen.
Aus Satz X nun folgern wir leicht:
Satz XI. Sei 9 eine Inhaltsfunktion, und sei Sf Vereinigung abzählbar vieler Mengen von endlichem 99-Maße. Dann
gibt es zu jeder auf 91 qp-meßbaren Funktion') f einen maßgleichen Kern 8 von 91, auf dem f von höchstens erster
Klasse ist.
In der Tat, nach Satz X gilt (t) überall auf 91, abgesehen von
einer Nullmenge, d. h. auf einem maßgleichen Kerne 53 von 21, und
da die fi stetig auf 29, und somit auch auf e, ist f von höchstens
erster Klasse auf 1, und Satz XI ist bewiesen.
Man darf nicht etwa schließen, f sei äquivalent einer Funktion
höchstens erster Klasse auf 92); denn die Folge {f/} in (t) wird
auf 91-53 im allgemeinen nicht konvergent sein, und daher nicht
eine Funktion höchstens erster Klasse auf 2 definieren. Ein Beispiel hierfür erhalten wir in folgender Weise:
Wir konstruieren zuerst im Intervalle [a, b] des 1_ eine linear-meßbare
Punktmenge (, die ebenso wie ihr Komplement R in keinem Teilintervalle
von [a, b] den Inhalt 0 hat. Sei zu dem Zwecke {;~} eine Folge positiver
Zahlen <1, für dio das Produkt:
(tt) i(1i - n) + o
n==l
wird. Sei, edine abgeschlossene, nirgends dichte Punktmenge aus [a,b], für
die (Kap. VI, ~ 8, Satz X):
jm (~(1) = A, (b — a).
Für das Komplement ü von (, zu [a, b] gilt dann:
_______ Ott (01) = (l-Ä1) (b - ).
1) Ist - nur eine gewöhnliche Maßfunktion, so gilt die Behauptung für
alle Baireschen Funktionen auf 1 (vgl. Satz VII).
2) Vgl. C. Burstin, Monatsh. f. Math. 27 (1916), 163.