Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. 565
wo die fk,z stetig, und mithin nach Satz I p-meßbar auf 9/. Aus (0)
und (00) folgt:
f- lim (lim fk, ),
und durch Anwendung von ~ 2, Satz XV folgt die Behauptung von
Satz VII.
Wir können beträchtlich weiter gehen, wenn wir als Inhaltsfunkti o n voraussetzen (Kap. VI, ~ 7, S. 444).
Satz VIII1). Sei f eine Inhaltsfunktion, und sei XW Vereinigung abzählbar vieler Mengen von endlichem q9-Maße.
Ist f 9-meßbar auf 9f, so gibt es eine auf 91 zu f äquivalente2) Funktion f* höchstens zweiter Klasse.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir ohne weiteres
f als beschränkt annehmen. Seien u und v untere und obere Schranke
von f auf 9:
(x) u f~<v.
Sei r eine rationale Zahl. Wir betrachten die Menge (f> r).
Da &5 eine Inhaltsfunktion, gibt es (Kap. VI, ~ 7, Satz V) einen 9 (f> r)
enthaltenden o-Durchschnitt S9, der maßgleiche Hülle von 29(f>r)
ist. Indem wir nötigenfalls E9., ersetzend durch den Durchschnitt aller
1, (r~r'), können wir annehmen, es sei:
(xx) WC., < 1,." wenn '> r".
Da 9,. maßgleiche Hülle von 9(f>r), ist:
(XXX) f (r - 9 (f> r))~= 0.
Wir wählen nun für r insbesondere die Zahlen -- ( =, +,
+2,...) und definieren auf 9I eine Funktion fy durch 3):
f,- auf 2i- 9
2v f -x2v 2V
Dann ist für jedes q die Menge 9i(f ~ q) eine der Mengen 91 und
2v
mithin ein o-Durchschnitt, daher ist (Kap. V, ~ 5, Satz II) fy höchstens
eine Funktion g2. Die Funktionenfolge {f,} ist, wenn man (XX) beachtet, monoton abnehmend, also ist (Kap. V, ~ 3, Satz VII) auch
1) G. Vitali, Rend. Lomb. 38 (1905), 599.
)-~ 1, S. 550.
8) Da wegen (X) 91r für r > v leer, für r < u aber 91,. = ~ ist, so ist fy auf
ganz 91 definiert.