Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

564 Die meßbaren Funktionen.
Satz IV. Ist t eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist
jede Funktion f, die stetig ist in allen Punkten von 9f, ausgenommen die Punkte einer Nullmenge, auch -i-meßbar auf f.
Sei in der Tat S9 die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f
auf 9/. Es ist:
x -- (t - w) + Wo
Da die Funktion f stetig ist auf 9-1- 9, so ist sie, wie eben bemerkt, auch Up-meßbar auf 91 —S. Auf W9 ist sie gleichfalls p-meßbar, da auf einer Nullmenge jede Funktion p-meßbar ist. Also ist
sie nach ~ 1, Satz XII auch (p-meßbar auf 9/, und Satz IV ist bewiesen.
Wir können nun auch die Sätze II und III noch verschärfen:
Satz V. Es gibt cc Funktionen, die überall im Ö9 stetig
sind, abgesehen von einer Nullmenge1).
In der Tat, die beim Beweise von Satz II benutzten Funktionen h
sind sämtlich stetig im S9, abgesehen von einer Nullmenge.
Daraus folgt dann weiter (wie Satz III aus Satz II):
Satz VI. Es gibt Funktionen, die überall im 91 stetig
sind, abgesehen von einer Nullmenge2), aber keine Baireschen Funktionen sind.
Aus Satz XV von ~ 2 folgern wir nun:
Satz VII. Sei t eine gewöhnliche Maßfunktion und 92
Vereinigung abzählbar vieler Mengen endlichen 99-Maßes.
Dann gibt es zu jeder Baireschen Funktion f auf 91 eine
Folge {f} auf 9 stetiger Funktionen, so daß überall auf 92,
abgesehen von einer Nullmenge:
f= lim f.
Wir führen den Beweis durch Induktion. Angenommen, die Behauptung sei richtig für Bairesche Funktionen geringerer als a-ter
Klasse. Ist f von a-ter Klasse, so gilt:
(0) f- lim fk
k= oo
wo die f, Bairesche Funktionen geringerer als a-ter Klasse. Nach
Annahme ist dann überall auf 91, abgesehen von Nullmengen:
(00) f= -= lim f,,
I-30
1) Nach der Basis Ik.
2) Nach der Basis uk,.