Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 2. Folgeni meßbarer Funktionen. 559
gibt es einen Teil 3, von 1 und einen Index vy, so daß:
(***) (P ('- n) < a,,
(***) If - f < e~ auf 9,3 für Yv_
Setzen wir:
9 =i Si. i+i...S + '..,
so ist wegen (**):
(t - 2i) < a +,a+ +. + ai+ +...
und somit wegen der eigentlichen Konvergenz der Reihe (**):
(***) lim ( - )- 0.
Auf W9, aber ist wegen (***):
If, —flK, ffür v >v und nn>i.
Bei Beachtung von (*) aber besagt dies: {f,} konvergiert auf 21.,
gleichmäßig gegen f. Wegen (***) ist also die Behauptung bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
für die Konvergenzmenge von {ff} in 9 wäre:
Da für jeden q-meßbaren Teil 3 von 52, auf dem {fr} gleichmäßig
konvergiert, gewiß:
f() < 3) (tX)
ist, kann {fy} auf 51 nicht wesentlich-gleichmäßig konvergieren. Damit ist Satz XI bewiesen.
Satz XI kann nicht dahin verschärft werden, daß es in 5 einen
Teil 3 gibt, auf dem {f,} gleichmäßig konvergiert, und für den:
(t) f (S) - f (t)
wäre ). Beispiel im ~9: Sei 9 der lineare Inhalt /u, sei 91 das
Intervall (0, 1) und: 1 in (,, sonst 0. Dann ist lim f 0
auf 5. Jeder Teil 2 von 1, für den (t) gilt, hat den Punkt O
zum Häufungspunkt, so daß auf ihm {f"} nicht gleichmäßig gegen 0
konvergieren kann.
Für Funktionenfolgen {fv}, die auf 92 nicht überall, abgesehen von einer
Nullmenge, konvergieren, treten an Stelle von Satz XI die folgenden Sätze2):
Satz XII. Ist 2f von endlichem tp-Maße und {fr} eine Folge auf
f1 rp-meßbarer Funktionen, so gibt es in 52 eine Folge Uq-meßbarer
1) C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 384.
2) W. H. Young, Quart. Journ. 1913, 129; Lond. Proc. (2) 12 (1913), 363.