Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

556 Die meßbaren Funktionen.
Als Anwendung von Satz IV beweisen wir noch einen Satz, der die
Sätze VI, VII, IX von ~ 1 als Spezialfälle enthält.
Satz VII. Sind die Funktionen fi, f2,...,fk -meßbar und endlich auf 9/ (abgesehen von Nullmengen), und ist g (x, x,..., x,) eine
Bairesche Funktion') im 9k, so ist auch g(fx,,"f...,fk) p-meßbar
auf 9t.
Nach ~ 1, Satz IX ist die Behauptung richtig, wenn g ein Polynom ist.
Da aber bekanntlich jede im 9k stetige Funktion Grenzfunktion von Polynomen ist, gilt die Behauptung nach Satz IV auch, wenn g stetig2).
Ist {(g} eine konvergente Funktionenfolge im I9k, und gilt die Behauptung
für jede Funktion g", so gilt sie nach Satz IV auch für die Grenzfunktion
g = lim g,. Nach Kap. V, ~ 2, Satz I gilt sie also für alle Baireschen FunkY —= 00
tionen, und Satz VII ist bewiesen.
Betrachten wir nun an Stelle einer Fol g e {f} von Funktionen eine
Funktion f(a, t), die stetig von einem reellen Parameter t abhängt. Um
einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, wollen wir etwa annehmen, es
sei f(a, t) als q -meßbare Funktion auf 9f definiert für alle t aus (0, 1). In
Analogie zu Satz III gilt dann:
Satz VIII. Ist f(a, t) für jedes reelle t aus (0, 1) als Funktion
von a p-meßbar auf 9t, für jedes a aus 9f als Funktion von t stetig
in (0, 1), so sind:
f(a)==limf(a,t) und f (a)= lim f (a, t)
t=+o - t=+o
p-meßbar auf 9f.
Sei in der Tat: r r.,,..
die Menge aller rationalen Zahlen aus (o, -) und F, die obere Schrankenfunktion der Folge:
f(a, r(n~),f (a, r?),., f(a, rt),..
Nach Satz II ist F,, p -meßbar auf 91. Offenbar ist ferner:
f= lim F,,,
und die Folge {F,} ist monoton abnehmend. Nach Satz I ist also auch f
p- meßbar, und Satz VIII ist bewiesen.
Satz IX3). Sei 91 eine Menge endlichen 99-Maßes4) und
{f~} eine Folge auf 9 T-meßbarer Funktionen, die überall
1) Es genügt nicht, g als k-dimensional-meßbar vorauszusetzen. Vgl. ~ 6,
Satz VII.
2) Ein andrer Beweis bei E. W. Hobson, The theory of functions of a
real variable, 393.
3) Dieser Satz wurde, schrittweise allgemeiner, entwickelt von C. Arzel,
Memr. Bol. 1899, 135; E. Borel, Le9ons sur les fonctions de variables reelles 37;
H. Lebesgue, C. R. 137 (1903), 1229; Le9ons sur les series trigonometriques 10;
D. Th. Egoroff, C. R. 152 (1911), 244.
4) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im '9,
Sei p der lineare Inhalt /, und fy = 1 in [v, y -- 1], sonst = 0.