Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VIII, ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. 553
Satz XII. Ist 9 Vereinigung abzählbar vieler Mengen,
auf deren jeder f zp-meßbar ist, so ist f auch 9-meßbar
auf t1.
Sei in der Tat:
= 5 q- ~ q-...- 5 q-+...,
und f p -meßbar auf allen.n Dann ist:
(f > p) = (f > ) + 9I (f >P) +. n., (f >P) '
und da hierin jede Menge n (f>p) po-meßbar ist, so auch die
Menge 5 (f >p). Damit ist Satz XII bewiesen.
~ 2. Folgen meßbarer Funktionen.
Wie wir in ~ 1 gesehen haben, führen die elementaren Rechenoperationen, angewendet auf 9p-meßbare Funktionen, immer wieder
auf p -meßbare Funktionen. Wir wollen uns nun überzeugen, daß
dies auch für den Grenzübergang gilt. Wir beginnen mit monoto nen Folgen.
Satz I. Ist {fy} eine monotone Folge auf 51 p-meßbarer
Funktionen, so ist auch die Grenzfunktion')
f lim f,
y= 00
9-meßbar auf 9.
Sei zum Beweise {f)} etwa monoton wachsend. Dann ist, abgesehen von Nullmengen:
9 (f> p) = (fi > p) + (f >S) +-.-+ (f >p) --
Nach Voraussetzung ist jede Menge f (fv >p) p-meßbar, daher auch
51 (f>p), und Satz I ist bewiesen.
Satz II. Ist {ff} eine Folge auf 1 99-meßbarer Funktionen, so sind auch obere und untere Schrankenfunktion2)
von {ff} 99-meßbar auf 91.
In der Tat, man erhält die obere Schrankenfunktion F von {f,}
in folgender Weise: Ist F, der größte unter den v Funktionswerten
fi, f,..., f so ist:
F - lim F,.
v = 00
1) Dabei ist es offenbar - da jedes f, auf ( definiert ist abgesehen
von einer Nullmenge - ganz gleichgültig, ob wir die Grenzfunktion f als
definiert ansehen nur in den Punkten von 9f, in denen alle f, definiert sind>
oder auch in den Punkten von 2f, in denen fast alle f4 definiert sind.
2) Kap. IV, ~ 1, S. 231.