Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

44 Die reellen Zahlen.
~ 7. Die Mächtigkeit des Kontinuums.
Sei g eine natürliche Zahl > 1. Eine Zahl der Form:
+(1) -+.e + g + e +
worin eo irgendeine ganze Zahll), e1, e2,..., e, aber der Ungleichung
(2) o < e, _ g -1
genügende ganze Zahlen sind, nennen wir einen endlichen Systembruch der Grundzahl g, oder kurz einen endlichen g-Bruch.
Unter einem unendlichen Systembruch der Grundzahl g (einem
unendlichen g-Bruch) verstehen wir eine unendliche Reihe der
Form 2):
(3),e eo - -- + -. +- -.~~
(3) ++.+9 92 g
in der die en dieselbe Bedeutung haben, wie in (1). Ist über die
Grundzahl kein Zweifel, so schreiben wir statt (1) und (3):.(4) ex, e2 e2.. ek; e e e
e, bezeichnen wir als,n-te Stelle". Wir nennen e.e ee2...e den
n-ten Näherungsbruch von eo.ele2...e... Bekanntlich gilt:
Satz I. Jeder endliche g-Bruch ist gleich zwei und nur
zwei unendlichen g-Brüchen, nämlich (wenn ek>0):
(5) eo e2... ek. ee e... e, 0... *O..
-eo* e e... (ek- 1)(g- 1)(g- 1)...(g- 1)...
Satz II. Zwei unendliche g-Brüche, in denen nicht durchwegs entsprechende Stellen übereinstimmen, sind nur dann
einander gleich, wenn sie gleich demselben endlichen
g-Bruch sind, und somit die Form (5) haben.
Satz III. Für einen unendlichen g-Bruch besteht die
Ungleichung:
(6) eSel e2.. ena u e e e.. e en. e = eo e el. e+ -
1) Sie kann auch negativ sein.
2) Bekanntlich zeigt man durch Vergleich mit der geometrischen Reihe
g - die eigentliche Konvergenz der Reihe (3).
n=