Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Achtes Kapitel.
Die meßbaren Funktionen.
~ 1. Meßbare Funktionen.
Sei 9f eine Punktmenge eines metrischen Raumes 9t, und sei M
ein aus Punktmengen D von 91 bestehender o-Körper (Kap. VI, ~ 1,
S. 394), in dem insbesondere auch 9 selbst vorkommt. Sei qp(9)
eine in M definierte absolut-additive Mengenfunktion; ihre Absolutfunktion ) bezeichnen wir mit (S):
g (Eß) = c (f, m).
Um eine einfache Terminologie zu haben, nennen wir die Mengen 9
aus M kurz p-meßbar, die Funktionswerte (99 () und -9(93) das
m-Maß und U-Maß von 192). Eine Menge, deren.-Maß 0 ist,
und jeden Teil einer solchen Menge nennen wir kurz eine Nullmenge (für die Basis p9). Nach Kap. VI, ~ 1, Satz IX können wir
ohne weiteres annehmen, alle diese Nullmengen gehören zu M.
Wie schon früher, bezeichnen wir, wenn f eine auf 2 definierte
Funktion ist, mit t (f> p) die Menge aller Punkte von P2, in denen
f> p, und verwenden in analoger Bedeutung die Symbole: g (f<p),
(p < f< q), (f= q) usw.
Sei f definiert auf 9, abgesehen von einer Nullmenge. Dann
heißt f p-meßbar auf 29, wenn für jedes p die Menge i(f> p)
- meßbar ist3). Auf einer Nullmenge (für die Basis q7) ist demnach jede Funktion p-meßbar.
1) Kap. VI, ~ 2, S. 404.
2) Ohne damit sagen zu wollen, daß p oder - eine Maßfunktion im Sinne
von Kap. VI, ~ 5 sei.
3) Der Begriff der meßbaren Funktionen wurde (für den Fall, daß fp der
k-dimensionale Inhalt Mk im 9S ist) eingeführt von H. Lebesgue, Le9ons
sur l'int6gration (1904), 111. - Die Übertragung auf den Fall einer beliebigen
absolut-additiven Mengenfunktion rührt her von J. Radon, Wien. Ber. 122
(1913), 1325.