Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

542 Die Funktionen endlicher Variation.
Satz IV. Ist die Funktion f(x,...,x) totalstetig in
[a,..., aL; b..., bk], SO ist sie auch von endlicher Variation
(II) in [a...,ak;bl,..., bk].
Satz V. Damit die Funktion f totalstetig sei in [al,...,
a;b,...,Jbk, ist notwendig und hinreichend, daß sie den
beiden Bedingungen genügt:
1. Zu jedem e>O gibt es ein >O derart, daß für
jedes der Ungleichung:
ftk () < Q
genügende endliche') Intervallsystem aus [la,..., a,; b",...,b,]
die Ungleichung besteht:
x(.) A(~)<.
2. Für jedes xi aus (ai, b) (i= 1, 2,..., k) ist die Funktion f(x,,..., xi,, i, xi+1,...., xk) totalstetig in [a,..., aai_
ai+...,'' ak; bl,..., bi-1, bi+tl,..., bk].
Satz VI. In Satz V kann (X) ersetzt werden durch:
iJ(3)1<E.
Man folgert aus diesen Sätzen leicht:
Satz VII. Ist eine Funktion f(x,...,x,) totalstetig im
Intervalle [a,,..., a;b...,b], so ist sie auch stetig in
diesem Intervalle.
Aus der Tatsache, daß eine Funktion f(xl,..., x,) als Funktion
jeder einzelnen ihrer Veränderlichen (bei Festhaltung der übrigen)
totalstetig ist, kann nicht geschlossen werden, daß sie totalstetig ist,
ja nicht einmal, daß sie stetig ist2).
Wir gehen nun über zu einer dritten Definition der Funktionen f(x1,..., k) endlicher Variation3). Wir sagen, durch:
(0) x, =xi(t), a<tb (i = l, 2,..., k)
sei ein die Punkte (a,..., ak) und (b,...,bk) verbindender steigender
Kurvenbogen (E im 9Jk gegeben, wenn die k Funktionen xi(t) in [a,b] monoton wachsend und stetig sind, und wenn:
xi(a) =ai; xi (b) b (i =1,2,...k).
Wir sagen, durch:
a = to < t, <... < tn_ < tn == b
sei eine Zerlegung Z des Kurvenbogens 1 gegeben, und ordnen ihr die Ausdrücke zu:
1) Dieser Zusatz kann auch ohne weiteres wegbleiben.
xy
2) Beispiel: f(x, y) = x2 + 2 für (x, y) + (0, 0), f(O, 0) --. Vgl. auch
Fußn. 1), S. 545.
3) C. Arzelä, Rend. Bol. 9 (1904/05), 100.