Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k. 541
Und daraus folgert man weiter ):
Satz III. Eine Funktion f(xl,..., x) endlicher Variation
(I) kann durch Addition endlich vieler Funktionen von
weniger als k Veränderlichen in eine Funktion f*(x,..., k)
endlicher Variation (II) verwandelt werden.
In der Tat, man bezeichne mit fil, i... (1 l < k) die Funktion, die aus f(x,..., x") entsteht, indem man den Veränderlichen
Xii xi2,.., xii die festen Werte ail, ai,.., a a erteilt, und setze:
k1=
f*=f- (_ 1)' f t~,,+...,,,
wo die zweite Summe über alle Kombinationen zu je I (iI < i2 <...< i)
der Indizes 1, 2,..., k zu erstrecken ist.
Anknüpfend an die Definition II der Funktionen f(x,,..., x,)
endlicher Variation definieren wir nun auch die totalstetigen Funktionen f(x,..., ).
Die im offenen Intervalle (al,..., ak; bl,..., ) definierte und
endliche Funktion f(x,...,x) heißt totalstetig in (a1,...,a;
bl,..., bk), wenn:
1. ihr Absolutzuwachs totalstetig ist nach /kÄ im o-Körper aller
Borelschen, und somit auch2) im o-Körper aller k-dimensional-meßbaren Mengen aus (al,..., aa; bl,..., b);
2. für jedes xi aus (ai, b) (i= 1, 2,..., k) die Funktion f(x1,., xi-1 i, x i+,..., xk) totalstetig ist in (al,..., ai 1, ai+., ak;
bl....,_hi- bi+I,,bk) '
Sei die Funktion f(x,..., x) definiert und endlich im abgeschlossenen Intervalle [ac,..., a,; bl,..., bk]. Wir dehnen ihre Definition auf den ganzen ~9 aus durch die Festsetzung: man bilde aus
dem Punkte (xl,..., xk) des 9k einen Punkt (xl,..., ), indem man
x4 -xi setzt, wenn xi in [a, bi], hingegen x=- ai, wenn xi <ai,
und x=- bi, wenn xi> b. Sodann setze man:
f(x,..., )= f(X x.,).
Ist die so definierte Funktion f totalstetig in einem [a1,..., a;
b,..., bk] enthaltenden Intervalle (c,..., c; d,..., d), so nennen
wir sie totalstetig in [al,..., a; b,..., bk].
Die totalstetigen Funktionen f(x,..., x) haben nun ähnliche
Eigenschaften wie die totalstetigen Funktionen f(x). Wir heben
hervor:
1) M. Frechet, Nouv. Ann. (4) 10 (1910), 245.
2) Vgl. S. 474, Fußn. 1).