Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

540 Die Funktionen endlicher Variation.
system 2 aus [al,..., ak; b..., bk] die Größe A (2). Als Variation
von f in [a..., a1;b,..., b], in Zeichen Aba.bk(f), definieren
wir die obere Schranke der A (2) für alle möglichen Intervallsysteme ( aus [ac,..., ak; b1,..., bk] (vgl. ~ 4, Satz V, VI). Dann
kann man zunächst folgende Definition aufstellen:
Definition I1). Die Funktion f(x1,...,xk) heißt von endlicher
Variation (I)2) in [a1,..., a; b,..., bk], wenn Abl bk(f) endlich ist., ak.f ei i.a
Addiert man zu f eine beliebige Funktion von k - 1 der Veränderlichen x, x2,.., x, so ändert sich die Differenz A (q) von f
in einem beliebigen Intervalle 3 gar nicht. Es ändert sich daher
auch A () und mithin auch Aba..bk nicht, und wir haben den Satz:
Satz I. Addiert man zu einer Funktion f(x1,..., x), die
in [al,..., a; b1..., b, von endlicher Variation (I) ist, eine
ganz beliebige Funktion von k - 1 der Veränderlichen
X, x2,...,, so entsteht wieder eine Funktion endlicher
Variation (I).
Wie man sieht, kann also eine Funktion f(x,..., xJ) von endlicher Variation sein, ohne daß die Funktionen von k -- 1 Veränderlichen, die aus f entstehen, indem man einer der k Veränderlichen
einen festen Wert erteilt, von endlicher Variation wären. Diesen
Übelstand vermeidet eine zweite Definition; sie setzt den Begriff der
Funktion endlicher Variation von k - 1 Veränderlichen als schon
bekannt voraus und lautet:
Definition II3). Die Funktion f(xl..., x) heißt von endlicher Variation (II) in [a1,..., an; b1,..., b], wenn:,...,bk
1. A ',,k(f) endlich ist, und
2. für jedes xi aus [ai, bi] (i 1, 2,..., k) die Funktion f(x",..., 'Xi, x xi,..., xV) von endlicher Variation in [al,... ai,
ai+1..., ak; b1,.., bi-l, bi l,..., bk] ist.
Man überzeugt sich leicht von der Gültigkeit des Satzes:
Satz II. Ist f(x,..., x) von endlicher Variation (I) in
[^a,..., a,; b1,..., bk], und sind die k Funktionen f(xl,..., xi_-,
a", xi+i,.., Xk) (i== 1, 2,..., k) von endlicher Variation (II) in
[al., ci-L, ai+,..,,ak; b,.., bi-, bi+~,..., bk, so ist f(x,...,xk)
auch von endlicher Variation (II) in [al,..., ak; b,..., b,].
1) H. Lebesgue, Ann. Ec. Norm. (3) 27 (1910), 408. M. Frechet,
Nouv. Ann. (4) 10 (1910), 241. Eine etwas andere Definition: M. Frechet,
Am. Trans: 16 (1915), 225.
2) Der Zusatz (I) bedeutet:,nach Definition I".
3) G. H. Hardy, Quart. Journ. 37 (1906), 56.