Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 43
nl = ca,, t.., nk = C0
Nehmen wir hingegen in. alle z auf, zu denen es Indizes n', n,..., n', gibt, so daß:
aCni, n2...k n<Z für nln'l, n2n,.., nn, n>,
so bezeichnen wir die den Schnitt t -+- W2 hervorrufende Zahl mit:
lim an,...nfk
nl =...., nk =1
In Analogie zu Satz VIII gilt dann:
Satz XI. Damit die Folge {an,2,,..., } konvergent sei,
ist notwendig und hinreichend, daß:
(t+) nlim a.n2,..,.=- lim an12,...
nl-=., ' nk == -l n=a, ".,, fk =
Die Bedingung ist notwendig. Denn ist sie nicht erfüllt, so
gibt es z' und z", so daß:
lim an,.. k <Z<Z < lim a~.,.
n1=o,.-. 7ik=0 l ---oo..., nk ~
Wie immer auch n1, n2,..., n. vorgeschrieben sein mögen, gibt es
dann Indizes:
i'^nl, _, *?'k _ nk und nl'in1,..., nk 'nf,
so daß:
an % ',<z a'", %, > Z".
s n l, k,... ^ Sr,,... r _
es kann also {a,,',,*, } keinen Grenzwert > z' und keinen Grenzwert < z", also wegen z' < z" überhaupt keinen Grenzwert haben.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn nennen wir den gemeinsamen Wert (t) der Hauptlimiten: a, so gibt es nun zu jedem
p<a Indizes n, n,...., n so daß:
2,...,> für >n>,..., nk.
zu jedem q a Indizes nx, n'" so daß:
an,. q.., < für n1 > *..,k nk.
Das aber heißt:
lim an, n...... -a,
und Satz XI ist bewiesen.