Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 12. Streckenweise konstante Funktionen. 537
Satz I) eine ähnliche Abbildung A der Menge der Intervalle (x', x')
auf die Menge der rationalen Zahlen des Intervalles (0, 1). Ist r,
die durch A dem Intervalle (x', x) zugeordnete rationale Zahl, so
setzen wir
f(x) = r in [x', x].
Setzen wir noch f(a)=O0, f(b)= 1, so ist f(x) überall in [a, b] definiert, ausgenommen die in (a, b) liegenden Punkte zweiter Art
von $ (Kap. I, ~ 9, S. 111). Um f(x) auch in diesen Punkten zu
definieren, gehen wir so vor (vgl. den Beweis von Kap. I, ~ 9,
Satz V):
Durch jeden Punkt x zweiter Art von l werden die Intervalle
(x4, x') geschieden in zwei Klassen: die links von x und die rechts
von x liegenden. Vermöge der Abbildung A geht daraus eine Scheidung der rationalen Zahlen aus (0, 1) in zwei Klassen hervor, die
erzeugt wird durch eine irrationale Zahl. Diese irrationale Zahl
definieren wir als den Funktionswert f(x).
Hiermit ist die Funktion f(x) in ganz [a, b] definiert. Offenbar
ist sie konstant in jedem zu u komplementären Intervalle, monoton
wachsend und nicht konstant in jedem Teilintervalle (a', b') von
[a, b], das einen Punkt von q3 enthält. Es bleibt nur noch zu beweisen, daß f(x) s t e tig ist.
Da f(x) monoton wächst, existieren die einseitigen Grenzwerte
f(x - 0), f(x +- 0). Wäre f unstetig im Punkte x, so müßte eine der
beiden Ungleichungen bestehen:
f(x -0)<f(x); f(x) < f(x + 0),
z. B. die erste. Dann würde f die sämtlichen zwischen f(x - 0)
und f(x) gelegenen Werte nicht annehmen, was unmöglich ist, da
f gemäß seiner Definition alle rationalen Werte aus (0, 1) annimmt.
Also ist f stetig in [a, b], und Satz V ist bewiesen.
Ist sodann g(t) irgendeine in [0, 1] stetige Funktion, und ist
f(x) die eben gebildete Funktion, so ist auch g(f(x)) eine zu $3 gehörige streckenweise konstante Funktion, und wenn g(t) in keinem
Teilintervalle [0, 1] konstant ist, wird g(f(x)) in keinem Teilintervalle (a', b') von [a, b] konstant sein, das einen Punkt von q
enthält.
Satz VI. Se~i 3 eine perfekte Menge aus [a, b] vom Inhalte 0.
Dann kann eine zu 13 gehörige streckenweise konstante
Funktion f(x) (wenn sie nicht in ganz [a,b] konstant ist),
nicht totalstetig sein.
Seien in der Tat:3 ( ==1, 2,...) die zu 3 komplementären