Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

536 Die Funktionen endlicher Variation.
Es ist also auch f-g stetig, und offenbar konstant in jedem
Intervalle (x, xZ), d. h. f- g ist eine zu 9 gehörige streckenweise
konstante Funktion. Nach Satz I ist also f g konstant in [a, b].
Also ist, wegen (4):
f (b)- f (a)g (b) -g (a)= g (b).
Das aber ist die zu beweisende Gleichung (1).
Satz III. Ist f(x) von endlicher Variation in [a, b], so
gilt stets (1).
In der Tat, dann ist:
2 f (x) -- f(xI) Aa (f),
und somit ist die Reihe (2) eigentlich konvergent, womit Satz III
bewiesen ist.
Nachdem wir in Satz I gesehen haben, daß jede zu einer abzählbaren abgeschlossenen Menge 21 gehörige streckenweise konstante Funktion überhaupt konstant ist, nehmen wir 2 als nicht
abzählbar an. Der insichdichte Kern von % ist dann eine nicht leere
perfekte Menge $ß, und es ist X - % abzählbar (Kap. I, ~ 8, Satz X;
Kap. I, ~ 7, Satz XXIV).
Satz IV. Ist 3 der insichdichte Kern der abgeschlossenen,
in [a, b] nirgends dichten Menge X, so ist jede zu 2f gehörige
in [a, b] streckenweise konstante Funktion f(x) konstant in
jedem zu $ komplementären Teilintervalle von [a, b].
Sei in der Tat (a', b') ein zu 3 komplementäres Intervall von
[a, b]. Dann ist der Durchschnitt 9' von f mit [a', b'] abzählbar,
und f ist in [a', b'] eine zu 2' gehörige streckenweise konstante
Funktion. Also folgt die Behauptung aus Satz I.
Es wird also genügen, von nun an die zu nirgends dichten
perfekten Mengen gehörigen streckenweise konstanten Funktionen
zu betrachten.
Satz V. Ist qß eine in [a, b] nirgends dichte perfekte
Menge, so gibt es zu r gehörige, in [a, b] streckenweise
konstante, monoton wachsende Funktionen, die in keinem
Teilintervalle (a', b') von [a, b] konstant sind, das einen
Punkt von $l enthält.
Beim Beweise können wir ohne weiteres annehmen, daß a und
b zu $ gehören. Dann haben die komplementären Intervalle (x,, x)
(v= 1,,...) von $ in [a, b] in ihrer natürlichen Reihenfolge den
Ordnungstypus r (Kap. I, ~ 9, Satz II). Es gibt also (Einl. ~ 8,