Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

534 Die Funktionen endlicher Variation.
finden solche Beispiele innerhalb einer merkwürdigen Klasse von
Funktionen, die wir als streckenweise konstante Funktionen bezeichnen werden ).
Ist 91 eine abgeschlossene, in [a, b] nirgends dichte Menge aus
La, b], so heißt jede auf [a, b] stetige Funktion, die konstant ist in
jedem zu 91 komplementären Teilintervalle von [a, b], eine zu 9
gehörige, in [a, b] streckenweise konstante Funktion.
Satz I. Ist die abgeschlossene, in [a, b] nirgends dichte
Punktmenge 9I abzählbar, so ist jede zu 91 gehörige streckenweise konstante Funktion f(x) konstant in ganz [a, b].
Wir führen den Beweis durch Induktion. Sei 91 die erste
leere Ableitung von 9 (Kap. I, ~ 8, Satz XI). Die Behauptung ist
richtig für a-O0, da dann 9 selbst leer ist. Angenommen, die Behauptung sei richtig für a c< ß. Wir haben ihre Richtigkeit für a =
zu zeigen.
Da a eine isolierte Zahl (Kap. I, ~ 8, Satz XI), besteht Wa-1 aus
endlich vielen Punkten, durch die [a, b] in endlich viele Teilintervalle [xo, xi'] (i 1, 2,...., k) zerlegt wird. In (x', x'') liegt kein Punkt
von 91t-1, und da a-1 <fB, ist! nach Annahme f(x) konstant in
jedem Teilintervall [a', b'] von (xi, xr), und somit, wegen der Stetigkeit von f(x), auch in [xi, x']. Also ist f(x) auch konstant in [a, b],
und Satz I ist bewiesen.
-Wir ziehen zunächst aus Satz I eine Folgerung, die wir später
benötigen werden:
Satz II. Ist 9 eine abgeschlossene, abzählbare Punktmenge aus [a, b] und sind (x' xs') (v==l, 2,...) die punktfreien Intervalle von 91 in (a, b), so ist für die in [a, b]
endliche und stetige Funktion f(x):
(1) f(b) - f (a)= (f (x)- f(x')),
falls die Reihe:
(2) ) f (Z) - f (zx)
eigentlich konvergiert.
Sei in der Tat x ein Punkt von (a, b]. Mit x bezeichnen wir
den am weitesten rechts gelegenen Punkt von 91 in [a, x] und
1) Nach A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 156. Vgl. wegen dieser Funktionen: G. Cantor, Acta math.
4 (1884), 386. A. Harnack, Math. Ann. 24 (1884), 225. L. Scheeffer,
Acta math. 5 (1884), 74, 289. V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 338.
D. Grave, C. R. 127 (1898), 1005. Vgl. auch G. Peano, Riv. di mat. 2
(1892), 41.