Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 12. Streckenweise konstante Funktionen. 533
und somit auch:
(24) A (f2) A (s) + Aa ().
Es wird wieder genügen, die erste Ungleichung (23) zu beweisen. Sei, wie beim Beweise von Satz VI, 91 ein Singulärteil von
[a', b'] für den Absolutzuwachs von s, und sei, wie beim Beweise
von ~ 7, Satz VIII, 91' die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f in
(a', b'). Da aus 9 jederzeit abzählbar viele Punkte getilgt werden
dürfen, können wir 9 und 9' als fremd annehmen. Wir setzen nun:
(25) (a', b')= 4- + + q- = +- = ' + - '.
Wie in (20) ist1):
(26) 3 (t, f)=, ( S+).
Nach (21) ist:
(27) (O, S)=.
Nach (32) und (33) von ~ 7 ist:
(28) ^ (t', f2)= z (', ( +).
Nach (34) von ~ 7 ist:
(29) ^ (', o+)= 0.
Aus (25), (26), (28), (27), (29) folgern wir:
(30) n ((a', ft)) f)= (?, f Q) -+ (' f2) -+f z (E, 2 ) >
n (, s+) + z (', +) n = ((a', b'), s+) + ((, b'), o+).
Hierin ist, wegen der Stetigkeit von s+:
r ((a', b'), s+) = - (+) S+ (b') - s (a').
Wendet man auf n ((a', b'), f,) und a ((a', b'), ao) die Formeln (37),
(38) von ~ 7 an, und schließt weiter wie dort, so geht (30) in die
erste Ungleichung (23) über, und Satz VII ist bewiesen.
~ 12. Streckenweise konstante Funktionen.
Wir werden nun im folgenden Beispiele stetiger Funktionen
endlicher Variation kennen lernen, die nicht totalstetig sind.. Wir
1) In der Tat, aus f = h + s - o folgert man zunächst, so wie (18) gefolgert wurde:
(9, s 4- ) = (I, f).
Wegen:
( We, s)-v (9, ) (, s +- o) _ ~ (, s) +- (1, 6)
und wegen:
(9, o)= O; v (, o)=0
ist aber:
(s, s + o) = (S, s).
Daraus schließt man weiter auf (19) und (20).