Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

532 Die Funktionen endlicher Variation.
Aus der Zerlegung:
f-h -+ s
von Satz I folgt, da h totalstetig, ganz ebenso:
(18) n(m,s) n(, f),
und da s+ die positive Variation von s (Satz IV), ist weiter'):
(19) n (f, s) =-(2, s+).
Aus (17), (18), (19) aber folgt:
(20) t (9, f2)= (, S+).
Da E9 Singulärteil des Absolutzuwachses von s, und s rein-singulär
ist, gilt für das Komplement S von 1 zu [a, b']:
7 (3, s) =
und mithin, da s+ die positive Variation von s, auch:
(21) n(, s+)= O,
also gewiß:
(22), f,) (, s ).
Aus (20) und (22) aber folgt:
TTba' ( n) (af,) + 2 (i, f2) > (a, S+) + (Ö, S+)
= ([a',, ], +)= s+ (b') - s+ (a').
Damit ist die erste Ungleichung (14) nachgewiesen. Ebenso beweist
man die zweite. Und aus (14) folgt (15) nach Satz III. Damit ist
Satz VI bewiesen.
Satz VII. Ist f von endlicher Variation in [a, b], und bedeuten s, s+,s_ die Funktionen der (positiven, negativen)
Singularitäten, a, a+, o_ die Funktionen der (positiven,
negativen) Sprünge von f, so gelten für jede Zerspaltung
von f in zwei Summanden
=fi+f f2
deren einer f, totalstetig ist in [a, b], für den anderen in
jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b], die Ungleichungen::; (f) 2t ()S+ (b') - s+ (a')) + (a+ (b') - + (d));
i(23)
N; ) (f) > (b_ (') - s (a')) + (o_ (b') - (a')),
1) In der Tat, zunächst stimmen in jedem Intervalle positive Variation
von s und s+ überein, daher ist auch (~ 5, Satz XIII) für jedes offene Intervall: zr (3*, s)= -r (s*, s+), woraus (19) auf Grund der Definition von Xr (~ 1,
S. 467) folgt.