Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 11. Die Funktion der Singularitäten. 531
Sei 9I ein Singulärteil von [a', b'] für den Absolutzuwachs von
s+ (nach der Basis /,)) und 53 das Komplement von % zu [a', b'].
Dann ist, da s+ rein-singulär (Satz II):
(10) Li ())=o 0; (e3,S+)=0.
Wegen (8) ist aber gewiß:
0 _<_ (e S) _< (S, s+),
und somit wegen der zweiten Gleichung (10):
(11) (8, S)=O.
Weil s1 totalstetig, ist aber wegen der ersten Gleichung (10):
(12) 6(5,s1)=0.
Aus (11) und (12) aber folgt:
ö ([a', b'], sl)= 5 (~, s,) + (S, s)= O,
im Widerspruche mit (9). Damit ist Satz V bewiesen.
Satz VI. Ist f stetig und von endlicher Variation in
[a, b], so' gelten bei jeder Zerspaltung von f in zwei Summanden
(13) f=fl+/,
deren einer, f~ totalstetig ist in [a, b], für den andern in
jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b] die Ungleichungen:
(14) TbT (f,) > s (b')- s+ (a'); Na' (fo) s_ (b') - _ (a),
und somit auch:
(15) At (f2) _ A: (s).
Sei in der Tat 9 ein Singulärteil von [a', b'] fiir den Absolutzuwachs von s (nach der Basis,u1) und 8 das Komplement von [
zu [a', b']. Dann ist:
1 (W) =0,
und mithin, da ft totalstetig:
(16) 0(,f1)=0, '(9,1)=0.
Aus (13) folgt nach ~ 1, Satz VIII1):
(g, f) - a (g, fl)__ n (~, f2) =< (~, f) +r (9, fl),
also wegen (16):
(17) n(9wf2)-^, (,f}f)
1) Vgl. S. 512, Fußn. 2).
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