Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 11. Die Funktion der Singularitäten. 529
\Ist f(x) von endlicher Variation, aber unstetig in [a, b], so
subtrahieren wir von f(x) die Funktion der Sprünge (~ 7, Satz III):
f(x)-a (x)= g (x).
Die Funktion der (positiven, negativen) Singularitäten von g(x) bezeichnen wir dann zugleich auch als die Funktion der (positiven,
negativen) Singularitäten von f(x).
Satz I. Ist die Funktion f(x) stetig und von endlicher
Variation in [a, b], so sind die Differenzen:
(1) TIx (f) s+ (x)=h+ (x); N (f)-s_(x)= h_(x)
totalstetig und monoton wachsend in [a, b]. Die Differenz:
f(x) - s (x) h (x)
ist totalstetig in [a, b].
Da nach ~ 5, Satz VIII:
h(x)= h+ (x)- h (x) + f(a)
ist, genügt es, die Behauptung für h+ (x) und h_ (x) nachzuweisen.
Wir führen den Beweis etwa für h+ (x).
Nach (1) ist für jedes Teilintervall [x', x"] von [a, b]:
(2) h+ (") - h+ (x') = TT, (f) - ( (x") - s+ (x')).
Nach ~ 5, Satz XV ist hierin:
(3) (f) = ~ ([x, x"]).
Nach ~ 5, Satz XIV ist n eine stetige Mengenfunktion, es sind also
nx und nxx stetige Mengenfunktionen, und es ist daher nach (tt):
(4) s+ (x) - s+ (x')= XX ((x', x"]) x x([', x").
Aus (2), (3), (4) folgt wegen (t) und wegen der Stetigkeit von nx:
(5) h+ (3X") - h = (') [, X "]) x X ((x', x")).,Da gewiß 7X> 0, ist zunächst h+ monoton wachsend. Weiter
folgern wir aus (5), daß der Absolutzuwachs von h+ nichts anderes ist als nx. Und da nach Kap. VI, ~ 4, Satz IX nx totalstetig nach yu. ist, so ist auch h7+ totalstetig. Damit ist Satz I bewiesen.
Wir bezeichnen nun eine stetige Funktion f endlicher Variation
als eine rein-singuläre Funktion, wenn ihr Absolutzuwachs rein-,singulär nach ul ist im a-Körper aller Borelschen Mengen. Dann
können.wir den Satz beweisen:
Satz II. Die Funktion der Singularitäten, sowie die
Funktionen der positiven und der negativen Singularitäten
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 34