Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

42 Die reellen Zahlen.
Die Bedingung ist hinreichend; denn ist sie erfüllt, so ist:
an,-e < a, ao + für n>no,
so daß die Folge {a.} jedenfalls keinen unendlichen Grenzwert
hat. Wäre sie andererseits überhaupt nicht konvergent, so gäbe es
(Satz VIII) z' und z", so daß:
lim a. < z' < z" < lin a,,
und es wäre
a', < z' für unendlich viele n',
an" > z" für unendlich viele n".
Wenn O< < z"-z', wäre also
a,,- an' > e für unendlich viele n', n",
entgegen der Annahme (*). Die Folge {an } ist also weder oszillierend,
noch hat sie einen unendlichen Grenzwert; also ist sie eigentlich
konvergent. Damit ist Satz IX bewiesen.
Satz X. Damit die Folge endlicher Zahlen {a,} eigentlich konvergent sei, ist notwendig und hinreichend, daß
es zu jedem e>0 ein no gibt, so daß:
a-n-a ol <e für n>n0.
Die Bedingung ist notwendig. Dies ist in Satz IX enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so gibt
es zu ein n, so daß:
la <-aal<2. I"t-a. <- für n'>n, n">O
und mithin:
|a - an",| < für n'>n, 'n" n0;
dies aber ist die Bedingung von Satz IX.
Wir definieren noch die Hauptlimiten von k-fach unendlichen
Folgen, und zwar in Anlehnung an die charakteristischen Eigenschaften (*), (**) S. 38 der Hauptlimiten von Folgen {aj}. Sei
({al, 2,..., -k} eine k-fach unendliche Folge. Wir nehmen einen
Schnitt 9 + -2 in der Menge der reellen Zahlen vor, indem wir in
9W alle Zahlen z aufnehmen, zu denen es Indizes n, n., n..
gibt; derart daß:
at1,,.... nk > für n1 >n, 2n... nk.
Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl (~ 5, Satz III) bezeichnen
wir mit: