Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 10. Totalstetige Funktionen. 523
~ 10. Totalstetige Funktionen.
Die im offenen Intervalle (a,b) definierte und endliche Funktion f(x) heißt totalstetig in (a,b), wenn sie von totalstetigem
Absolutzuwachse in (a, b) ist (~ 2, S. 474), d. h. wenn ihr Absolutzuwachs totalstetig ist nach dem linearen Inhalt /u, im a-Körper
aller Borelschen, und mithin auch') im ao-Körper aller eindimensionalmeßbaren Mengen von (a,b).
Sei die Funktion f(x) definiert und endlich im abgeschlossenen
Intervalle [a, b]. Wir dehnen ihre Definition auf ein [a, b] enthaltendes offenes Intervall (c,d) aus durch die Festsetzung:
(0f) f(x) = f(a) ffür x < a; f(x) = f(b) für x > b,
und nennen f(x) totalstetig in [a,b], wenn die so erweiterte
Funktion totalstetig in (c, d) ist.
Satz 1. Ist f(x) totalstetig in (a,b), so auch in jedem
abgeschlossenen Teilintervall [a',b'] von (a,b).
Sei in der Tat f(x) die Funktion, die in [a', b'] mit f übereinstimmt, während:
f(x) == f(a') für x <a d; f(x)== f(b') für x >b'.
Da offenbar zu jedem Intervallsysteme ~ aus (a, b) ein (in ~ enthaltenes) Intervallsystem Z aus (a, b) gefunden werden kann, so daß2):
ist zunächst3) für jede offene Menge ~ aus (a, b):
(0, f) a(0,.f).
und daher weiter für jede Menge 9f aus (a, b):
a (9 f)~ca(I f).
Ist also C (2, f) totalstetig nach y/,, so erst recht a (f, f), das aber.
heißt: f ist totalstetig in [a', b'], wie behauptet.
Es folgt nun unmittelbar auch:
Satz II. Ist f(x) totalstetig in [a,b], so auch in jedem
Teilintervalle von [a,b].
Satz III. Ist die Funktion f(x) totalstetig in [a,b], so
ist sie auch von endlicher Variation in [a,b].
1) Vgl. S. 474, Fußn. 1).
2) Man hat nur, falls a' (oder b') innerer Punkt eines Intervalles von e
ist, dieses Intervall durch a' (bzw. b') in zwei Teilintervalle zu zerlegen.
3) Zufolge der Definition von c (~ 1, S. 467).