Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

520 Die Funktionen endlicher Variation.
Indem wir nötigenfalls zu einer Teilfolge übergehen, können wir geradezu annehmen:
lim Aba (X, (t), Yv (t)) <, (x (t), y (t)).
v = 00
Dann gibt es auch ein e > 0 und eine endliche Zerlegung Z von [a, b], hervorgerufen etwa durch die Punkte:
a =- to< t < t2 <.. * < tn- <; t, b
so daß,|wenn L (Z) die Länge des zur Zerlegung Z gehörigen Näherungspolygones an den Kurvenbogen (000) bedeutet:
/\ (r (**) lim a (x, (t), Y (t)) L (Z)-.
Seien k und p() (Fig. 18) die dem Zerlegungspunkte tk
entsprechenden Punkte der Kurve (o00) 'und der Kurve (000).
Dann ist wegen (000):
/ ~ (***) ~r(p (P)< 2-v für fast alle v.
LFig. 18. Nun ist (**) gleichbedeutend mit:
nu n
A t_(x(t),y)(t)) + < r(PkX k) für fast alle r.
k=- -1 k=l
Wegen (***) ist also auch:
( )n n(t),y,(t))-r(k
( k*)> { = x (t) y (t))+(_, pk 1) + r )(A ) r (Pk-, P) '
k=l k-l1 k=l
Und da:
At ( x (t), y, (t) ) r (p1)pk),
würde aus (***) folgen, daß mindestens eine der n Ungleichungen besteht:
r(p) l())+ r (SPk-iP() + t kPk P~^ ) <r r (Pk-Pk)k-1
was unmöglich ist. Damit ist Satz V bewiesen.
Wir wollen noch den Zusammenhang herstellen zwischen dem Begriffe
der Länge eines Kurvenbogens und dem Begriffe des linearen Inhaltes
(Kap. VI, ~ 8, S. 461). Wir gehen aus von dem Satze:
Satz VI. Ist ( eine abgeschlossene und zusammenhängende,
die Punkte p und q enthaltende Punktmenge des S1'), die nicht
mit der Verbindungsstrecke von p und q identisch ist, so ist:
1i () > r (p, q).
Beim Beweise können wir, da für eine nicht beschränkte Menge E offenbar t, () = + co ist, ohne weiteres annehmen, i sei beschränkt. Angenommen
nun, es wäre:,~ (~) ~=r (p, q).
Zufolge der Definition des linearen Inhaltes gibt es dann zu jedem r > 0 ein
1) Oder des 89.