Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

5J18 Die Funktionen endlicher Variation.
~ 9. Länge eines stetigen Kurvenbogens.
Sind die beiden Funktionen x (t), y (t) endlich und stetig in [a, b], und
ist wieder ( die Menge aller Punkte (x, y) des 12", auf die [a,b] abgebildet
wird durch:
(0) x~=x(t), y =y(t),
so heißt (E ein stetiger Kurvenbogen, die Länge b (x(t), y(t)) der Durchlaufung (0) von ü heißt die Länge des Bogens [a, b] der Kurve (0)1). Aus
~ 8, Satz VI folgt:
Satz I. Hat der Bogen [a,b] der stetigen Kurve (0) endliche
Länge, so ist At (x(t),y(t)) eine in [a,b] monoton wachsende stetige
Funktion von t.
Aus Satz VIII von ~ 8 entnehmen wir, daß, wenn (0) einen stetigen
Kurvenbogen bedeutet, für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen::a ( (t), y (t)) -limL L (Z,).
y= oo
Wir wollen nun zeigen, daß hierin die Beschränkung auf endliche Zerlegungen fallen gelassen werden kann. Sind (xi, xo') (i 1,2,...) die Zerlegungsintervalle der unendlichen Zerlegung Z von [a, b] (~ 6, S. 502), so
setzen wir:
L (Z) _ 2 \' (x (ti) - x (ti-l)2 + (y (t) _- y (t-i))2.
i
In Analogie zu Satz IX von ~ 6 beweisen wir zunächst:
Satz II. Ist (0). ein in [a, b] stetiger Kurvenbogen, und ist E > 0
beliebig gegeben, so gibt es zu jeder Zerlegung Z von [a,b] der
Norm d, für die L(Z) endlich ist, eine endliche Zerlegung Z' der
Norm d, so daß:
L (Z')< L (Z) +-.
Seien t1, t2,..., t,.... die sämtlichen Zerlegungspunkte von Z. Wir umd
geben t, mit einem Intervall [t- - hy, t,, 4- h], wo h, < - und ferner so klein gewählt sei, daß für die Bildpunkte je zweier Punkte t',t" dieses Intervalles:
r (p (t'), p (t")) < -
2v
Durch ganz dieselben Überlegungen wie beim Beweise von ~ 6, Satz IX erhalten wir sodann die gewünschte endliche Zerlegung Z'.
Satz III. Ist (0) ein in [a,b] stetiger Kurvenbogen, so gilt für
jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher oder unendlicher Zerlegungen von [a,b]:
Aa (x (t), y (t)) = lim L (Z,).
v = 00
Der Beweis hierfür ist völlig derselbe wie für Satz X von ~ 6.
1) Man beachte, daß nicht dem Kurvenbogen 6 als solchem eine Länge
zukommt, sondern erst einer gegebenen Durchlaufung des Kurvenbogens.