Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 8. Rektifikation. 517
r (p (tV), p (tv - 0))+ r (p (t(t) + 0), p (t)) r (p (tt) + 0), p (tt) - o>) 0.
Es lautet also (***):
L (Z') - L (ZV) < E für fast alle v.
Aus (**) folgt also:
L (Z,) > q- für fast alle r,
und da hierin q < Ab (x(t), y (t)) und e> 0 beliebig waren, ist:
lim L (Z^)- b (x (t), y (t)),
V 00
und Satz VII ist bewiesen.
Als Spezialfall vom Satz VII erhalten wir:
Satz VIII. Sind x(t) und y(t) beschränkt und nur von erster
Art unstetig in [a,b], und liegt für jedes t von (a,b) der Punkt p(t)
auf der Verbindungsstrecke der Punkte p(t-0) und p(t+-0), so
gilt (*) für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen
von [a, b].
Wie Satz VII von ~ 6 folgert man daraus weiter:
Satz IX. Unter den Voraussetzungen von Satz VIII gibt es zu
jeder Zahl q:
q < A ( (t), y (t))
ein d>0, so daß für jede endliche Zerlegung Z von [a,b], deren
Norm < d ist:
L (Z) >q.
Satz X. Ist A (x(t),y(t)) endlich, so ist, damit für die ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen von [a,b] (*) gelte,
notwendig, daß jeder Punkt t von (a, b), für den p (t) nicht auf der
Verbindungsstrecke von p(t- 0) und p(t+- ) liegt, in fast allen Z"
Zerlegungspunkt sei.
Angenommen in der Tat, für den Punkt t' von (a, b) liege p (t') nicht
auf der Verbindungsstrecke von p (t' - 0) und p (t' + 0), und es komme t' in
unendlich vielen Zerlegungen von {Z4} nicht als Zerlegungspunkt vor. Wir
können ohne weiteres annehmen, dies sei für alle Z, der Fall. Seien t, und t,
der dem Punkte t' unmittelbar vorangehende und nachfolgende Zerlegungspunkt von Zy, und sei Z' die aus Z, durch Hinzufügung von t' entstehende
Zerlegung. Dann ist:
2L (Z') — L (Z>) =t(p.(t, (^))+r(p(tt), p(t')-r(p(.t),p(t)),
und somit:
(***) lirn (L (Z') - L (Z,) = r ( (t'), p (t' - 0)) + r( p (t' + O), p (t')
-r(p (t' +0),p (t- 0)),
und hierin hat nach Voraussetzung die rechte Seite einen Wert v > 0; und da:
(x (t), y (t))> L (Z) für alle v,
so folgt aus (%*):
A' (x(t),y (t)) ~ L (Z,) + für fast alle v,
so daß (*) nicht gelten kann. Damit ist Satz X bewiesen.