Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

512 Die Funktionen endlicher Variation.
Satz VIII. Ist f von endlicher Variation in [a, b], so
gelten bei jeder Zerspaltung von f in zwei Summanden
endlicher Variation:
(28) f=fi + f2,
deren einer f, stetig ist in [a,b], für den anderen in jedem
Teilintervalle [a',b'] von [a,b] die Ungleichungen:
(29) r: (f2)> +(b')- +(a'); N (f2) _(b') - _(a'),
und mithin auch:
(30) A: (f) ~ Abt ().
Wir führen den Beweis für ein in (a, b) liegendes Intervall [a', b'] 1).
Wir setzen wieder:
3' (a, b'),
bezeichnen mit Vf' die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f in (a', b'),
mit S3' ihr Komplement zu (a', b').
Da f1 stetig, sind Positiv- und Negativzuwachs n:(f), v(fi)
stetige Mengenfunktionen, mithin, da 9A' abzählbar:
(31) (', f1)-=0; v(Qf',f1)=O.
Aus (28) nun folgt nach ~ 1, Satz VIII2):
(tf', f) - (t', fi) < n (f', f2) < ^ (t', f) + (t', fi),
also wegen (31):
(32) (', f,)= (', f),
und nach Satz IV und ~ 5, Satz XIV ist weiter:
(33) ( (', f) = { f( f(x) f(x - 0) - l f(x + 0)- f(x) }
(a,b') + +
- (9', 7+).
Ferner ist, weil n (o+) rein-unstetig (Satz VI), und mithin
(34) (',,+)-0
ist, gewiß:
(35): (a', 2) > (Ö',o +).
) Der Fall, daß [a', b' mit [a, b] einen Endpunkt gemein hat, wird auf
diesen zurückgeführt, indem man setzt: f (x) -= f (a) für x < a, f (x)= f (b)
für x >b, und an Stelle von [a, b] ein Intervall [a*, b*] mit a*<a, b*>b
betrachtet.
2) In der Tat, aus (28) folgt:
Z (', f)_<- (', fL) +- (S', f2)
Wegen f, f- f, ist weiter:
(9', f2) _ 2 (', f) -+ ' (9', - fi) = f (9', f) + v (9', f)).