Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. 511
Satz VII. Die Funktionen o+(x) und a_(x) können nicht
zerspalten werden in zwei monoton wachsende Summanden,,
deren einer stetig und nicht konstant wäre.
Angenommen etwa, es wäre
(22) o+ (x)= h^ ) + h, (x),
wo h1 (x), h (x) monoton wachsend, und h1 (x) stetig und nicht konstant.
Dann gäbe es ein Teilintervall'
'=(a', b')
von [a, b], so daß:
h (b') -hl (a') > 0.
Nach ~ 5, Satz XIII ist dann auch:
(23) 6 ((', ) _= a (', h)= \ (b') - kh (a') > 0.
Aus (22) folgt (~ 1, Satz IX):
(a+)= - (hl) + (h2)
Weil h monoton wächst, ist hierin 6(h2) 0, und mithin:
(24) 0< _ (h1)< (o+).
Ist 9L' die Menge der nach (a', b') fallenden Unstetigkeitspunkte
von f, und 23' das Komplement von 9' zu (a',b'), so ist:
(25) (,)= (V, h) + (, a).
Nach Satz IV sind die Unstetigkeitspunkte von o+ enthalten
unter denen von f. Nach ~ 5, Satz XIV sind demnach auch die Unstetigkeitspunkte von öc(a+) enthalten unter denen von f. Also enthält 3' keinen Unstetigkeitspunkt von 6 (u+), und da nach Satz VI
ö (a+) rein-unstetig, so ist:
6 (3', o+)- O,
und mithin nach (24) auch:
(26) 6 (',h,)= o.
Nach ~ 5, Satz XIV folgt aus der Stetigkeit von h, die Stetigkeit der Mengenfunktion 8 (h1). Also ist, da %' abzählbar, nach Kap. VI,
~ 3, Satz VI:
(27) (W',h)= o.
Aus (25), (26), (27) würde aber folgen:
(Whi) i= o,
im Widerspruch mit (23). Damit ist Satz VII bewiesen.