Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

510 Die Funktionen endlicher Variation.
Würde nun nicht (*) gelten, so wäre nach ~ 5, Satz IX:
o+ (x) > YTa (o); _ (x) > Na (o),
und daraus durch Addition:
+ (x)+ _- (x) > Aa (a),
im Widerspruche mit Satz V. Dadurch ist (*) bewiesen, und ebenso
beweist man (**).
Satz VI. Der Absolutzuwachsl) a(o) der Funktion der
Sprünge, der Zuwachs b(ao) und ö(o) der Funktion der
positiven und der negativen Sprünge sind rein-unstetige
Mengenfunktionen.
Wir führen den Beweis für die Funktion der Sprünge. Ganz
analog verläuft er für die Funktionen der positiven und der negativen
Sprünge, bei denen, da sie monoton wachsen, Zuwachs und Absolutzuwachs identisch sind.
Da nach Satz III g von endlicher Variation, so auch (~ 5, Satz III)
a=f- g. Bezeichnen wir wieder mit 3* das Intervall (a, b), mit
9 die Menge der Unstetigkeitspunkte x1, x2..., x,,... von f in (a, b),
so haben wir zufolge ~ 5, Satz XIII unter Benutzung von (18) und
Satz IV:
(19) ( ) = { f(x - f(x- 0) + f(xv+ 0)- f(x)};
(a,b)
andrerseits ist nach Satz IV und ~ 5, Satz XIV:
f a(ts)== a ( oa)
(20)
(20) { I f(x) - f ( 0) | + | f(xv + 0)- f(Xzu) | }
(a,b)
Aus (19) und (20) aber folgt:
a(9,a)) = a (*,o),
und somit für jede zu 91 fremde, d. h. keinen Unstetigkeitspunkt
von f enthaltende Menge 23 aus (a,b):
(21) a (, o)=.
Nach Satz III sind aber die Unstetigkeitspunkte von f in (a,b)
identisch mit denen von o, und daher nach ~ 5, Satz XIV auch mit
denen von ac(o), also besagt (21), daß a (o) rein-unstetig ist, und
Satz VI ist bewiesen.
Aus Satz VI folgern wir:
1) Und somit auch Positivzuwachs,' Negativzuwachs und Zuwachs.