Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

40 Die reellen Zahlen.
an- an. Setzt man dies unter Beachtung von (6) in (2) ein, so
erhält man die erste Gleichung (5), und analog beweist man die
zweite.
Satz VII. Für die Hauptlimiten von Summen (Produkten)
gelten die Ungleichungen (vorausgesetzt, daß die darin
auftretenden Ausdrücke einen Sinn haben):
(*) lim a-,+ lim bn< lim (an + bn) _ lim a- + lim b,;
n-oo n= n=- o0 n= n =o
(**):lim a s- lim b < lim (a, + b,) < lim an + lim b,;
n= 00o n=oo noo n=oo n-=o
ferner wenn an>0, b> 0:
(***) li blim a bii lim an b_ lima b lima ib,.
n=ao n=oo n= o n==00 n=oo n= o
Es wird genügen, die Ungleichung (*) zu beweisen. Um zunächst
ihre rechte Hälfte zu beweisen, haben wir zu zeigen: ist
(1) z > lira an+- lim bn
n=" n= o
so ist:
(2) a"+b< z für fast alle n.
In der Tat, genügt z der Ungleichung (1), so gibt es z' und z",
so daß:
z'>lima; z> lim b; z'+ z<z.
n=ca n=ao
Dann aber ist
a < z' und b,< z" für fast alle n.
Damit aber ist (2) bewiesen.
Um die linke Hälfte von (*) zu beweisen, haben wir zu zeigen: Ist
(3) z < lim an+ lim bn,
n=oo n= o
so ist:
(4) a + b,> z für unendlich viele n.
In der Tat, genügt z der Ungleichung (3), so gibt es z' und z"' so daß:
z'<liman; z"<limbn; z'+z >z.
n=" 00 n'=0
Dann ist:
a>z' für fast alle n; b,>z" für unendlich viele n,
womit (4) bewiesen ist.