Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. 507
die wir als Funktion der positiven (bzw. negativen) Sprünge
von f(x) bezeichnen1). Ebenso bezeichnen wir den Ausdruck:
(2) o (x) = ar(x) - a- (x)= (f (t + 0) - f(a))
+ E {f(x, + 0)- f (X, - 0)} + (f(x) - f(x - 0))
(a, x)
als die Funktion der Sprünge von f(x).
Satz III. Die Differenzen:
(3) nTT(f)-o +(x)=g+(x); N (f)- o_(x)=g_(x)
sind stetig und monoton wachsend in [a,b]. Die Differenz:
(4) f(x)- o (x)=(x)
ist stetig und von endlicher Variation in [a,b].
Da nach ~ 5, Satz VIII:
(5) g (x) = (x g ( x)- g-( +( f (a)
ist, genügt es, die Behauptung für /g+(x) und g.(x) nachzuweisen.
Wir führen den Beweis etwa für g+(x).
Sei x ein Punkt von [a, b). Nach ~ 6, Satz I ist:
(6) limr ( )| f( + 0) - f(xTT) f f() [.
h-+0 +
Da i+ (x) seiner Definition zufolge monoton wächst, existiert der
Grenzwert:
lim { a+ (x + h)- o+ (x) }.
h —+0
Sei {h,,} eine Folge positiver Zahlen mit lim h=0, die so gewählt
n= oo0
seien, daß die Punkte x h- h nicht Unstetigkeitspunkte von f sind.
Dann ist:
o+ (+h,) - o+(x)= f(x + O)-f(x)
+ E { f(x,)- f(x~,-0) + f(x, +0)- f(x,) }
(x, x+h) + +
und mithin nach Satz II:
(7) lim {o+(x + h)- o+(x)} j f(x+ 0) -- f(t).
h =+0O +
Aus (6) und (7) aber folgt:
(8) lim { g+ (x + h) - g+ (x) } 0.
h-+O
1) Für x= a setzen wir: g+ (a) ==, o_ (a) 0. - Ist es nötig, die
Funktion f(x) in Evidenz zu setzen, so schreiben wir a+ (x, f), _ (x,f) statt
+ (x), ao(x).