Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

504 Die Funktionen endlicher Variation.
Zerlegungen von [a,b]:
(x) Aa (f) limA(Zy); rlt(f)=limP(Z); Nb (f) limN(Z,).
y_00 — 00 = v CO
In der Tat, es wird wieder genügen, die zweite dieser Gleichungen
zu beweisen. Dabei können wir offenbar aus der Folge der {Z1}
alle diejenigen weglassen, für die P(Z) = +- oo ist. Wir nehmen also
von vornherein an, alle P(Z,) seien endlich. Nach Satz IX gibt es
dann zu jeder Zerlegung Z, eine endliche Zerlegung Z', gleicher
Norm, für die
(xx) P(Z) > Pt(z) -
ist. So wie {Zv} ist aber auch {Z'} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge. Nach Satz VI ist also:
(xxx) imP(Z TT(f).
im= e )o
Nach ~ 4, Satz VI ist andrerseits:
(X X) P(Z,) < rra (f).
Aus (XX), (XXx), (Xx) aber folgt die zweite Gleichung (X), und Satz X
ist bewiesen.
Wie Satz VII beweist man nun:
Satz XI. Ist f(x) in [a, b] endlich und stetig, und sind q1,
q2, q3 beliebige Zahlen:
-, < A^(f); q<2 < T); q. < N(f)
so gibt es eine Zahl d, so daß für jede (endliche oder unendliche) Zerlegung Z von [a, bj, deren Norm <d ist:
A(Z)>q; P(Z)> q; N(Z) >q.
Satz XII. Ist f(x) in [a,b] von endlicher Variation, so
ist, damit für alle ausgezeichneten Folgen {Z,} unendlicher
Zerlegungen
Ab (f)-=lim A(Z,)
y -- 00
sei, notwendig, daß f in [a,b] stetig sei.
Angenommen in der Tat, es gebe in [a,b] einen Unstetigkeitspunkt Xo, und zwar sei etwa:
f(o + o) + f(xo).
Ist dann Z eine unendliche Zerlegung von [a, b], für die x0 rechts