Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

500 Die Funktionen endlicher Variation.
Satz V. Ist die Funktion f(x) endlich in [a,b] und hat
sie dort nur Unstetigkeiten erster Art, so gilt für jede
ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen von [a,b],
für die jede äußere Sprungstelle von f in fast allen Zerlegungen Z, als Zerlegungspunkt auftritt:
(**) Ab (f)-lim A (Z); -[b(f)=lim P (Z,); N(f) limN(Z,).
Dies ist sicher richtig, wenn f nicht beschränkt ist, da dann in
jeder dieser drei Gleichungen beide Seiten den Wert -- oo haben.
Wir nehmen also im folgenden Beweise f als beschränkt an. Es
genügt wieder, den Beweis für rTT zu führen.
Zu jedem q <TT (f) gibt es eine endliche Zerlegung Z von
[a,b], so daß:
P (Z)> q.
Seien etwa (*) die Zerlegungspunkte von Z. Wir bilden die Produktzerlegung:
Z = — Z Z,.
Nach ~ 4, Satz I ist dann auch:
(,) P (Z,) > q.
Seien:
XV) < (p) <.< x(i),
diejenigen unter den Zerlegungspunkten (*) von Z, die nicht zugleich
Zerlegungspunkte von Z, sind. Da sie alle unter den Punkten
1, x2,..., x_1 vorkommen, ist
kv < n.
Seien xI), 2?) der dem Punkte xY) unmittelbar vorangehende und
nachfolgende Zerlegungspunkt von Z,. Da {Z,} eine ausgezeichnete
Zerlegungsfolge, ist für fast alle v:
(v) < x(p) < X() < C() < X() < X^) <., < X) < X(V) < X(1)
und es wird:
P (Z) -P (Zv)
kv
2- { ) f(x ^)) + - f)- f(xyx) - f())) },
i=1+ +
woraus wir unmittelbar folgern: Ist e>0 beliebig gegeben, so ist
für fast alle v
Untersuchung der Werte, denen A(Zv) zustrebt, wenn die ausgezeichnete
Zerlegungsfolge {Zv} nicht der Bedingung von Satz V genügt.