Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

492 Die Funktionen endlicher Variation.
ist f(x) monoton abnehmend in [a, b], so ist:
(o~o) rn (f)= 0; N (f) =- (f(b)- f(a)); A (f) — (f(b)- f(a)),
womit Satz VII bewiesen ist.
Nach Satz III ist daher auch die (im allgemeinen nicht monotone) Differenz zweier monoton wachsender endlicher Funktionen
von endlicher Variation. Hiervon gilt nun auch die Umkehrung:
Satz VIII. Jede Funktion f(x), die in [a, b] von endlicher Variation ist, ist Differenz zweier in [a, b] monoton
wachsender, endlicher Funktionen, und zwar ist für jedes x
aus [a, b]:
f(x) f (a) + TT (f) N(f).
In der Tat, die Formeln (**) von S. 485 ergeben, angewendet
auf das Intervall [a,x]:
(**) -Tf A^( 2 (A (f) +f(x)- f(a)); N (f) = (A (f) -f(x) +f(a))
da nun alle hierin auftretenden Größen endlich sind, folgt durch Subtraktion (*), und Satz VIII ist bewiesen.
Unter allen Darstellungen von f als Differenz zweier monoton
wachsender Funktionen ist die Darstellung (*) ausgezeichnet durch
die Eigenschaft:
Satz IX. Für jedesPaar monoton wachsenderFunktionen,
deren Differenz f(x) ist:
(t) f - (x)- f ()= -f(),
gilt in jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b]:
fi (b') - fi (a') _ Hat (f); f (b')- f. (a') - Nb' (f).
In der Tat, nach (000) ist:
(tt) A; (f) = f1 (b') — f (a'); A, (f,) = f2 (b') - f (a').
Wegen (*) und (t) würde aus jeder der beiden Ungleichungen:
(ttt) ira' (f) > fi (b') - f (a'); N' (f) > f2 (b')- 2 (a')
die andre folgen. Wäre also eine von beiden erfüllt, so wäre:
f f (b') - f (a') f2 (b')- f (a) < (f) + N (f)= A (f),
während wegen ~ 4, Satz IX, und wegen (tt):
Aa, (f) = Aa (fi - f2) _ A, (f) + A, (f.2) f (b') - f (a') + f (b') - (a').
Also kann keine der Ungleichungen (ttt) gelten, und Satz IX ist
bewiesen.