Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 5. Funktionen endlicher Variation. 491
Reihe der Variationen:
(00) Aa (f)
eigentlich konvergent, so ist die Reihe (0) eigentlich gleichmäßig konvergent in [a, b], ihre Summe f(x) ist von
endlicher Variation in [a, b], und es ist:
(000) A A (f^).
v= l
In der Tat, setzen wir:
s8, (x)- f (x),
=1 i
so ist:
sn (x) - sn' (x) | sl, (x) - S, (x) - Sn'- (xo) + Sn, (Xo) ]
nF
+ Snt (Xo) - S. (xo) | _ Ab (fv) + Sn" (xo) - Sn' (xo),
Y=' +l
womit, wegen der vorausgesetzten eigentlichen Konvergenz der Reihe
(0) für x =-x und der Reihe (00), die eigentlich gleichmäßige Konvergenz von (0) in [a, b] nachgewiesen ist. Ungleichung (000) folgt
dann unmittelbar aus der für jedes Teilintervall [x', x"] von [a, b]
gültigen Ungleichung:
f(x") - f(x') < f,, (x")- f (x'),
und Satz VI ist bewiesen.
Wir nennen eine Funktion f(x) monoton wachsend in [a, b],
wenn aus a x'< x"< b folgt:
f(x') _ f(x"I),
wir nennen sie stets wachsend in [a, b], wenn aus a x' < x" b'
folgt:
f(')< f(x").
Analog ist die Definition der monoton abnehmenden (stets
abnehmenden) Funktionen. Monoton wachsende und monoton abnehmende Funktionen werden zusammengefaßt in den Begriff der
monotonen Funktionen. Es gilt der Satz:
Satz VII. Jede in [a, b] endliche und monotone Funktion
ist von endlicher Variation.
In der Tat, ist f(x) monoton wachsend in [a, b], so ist:
(O0) TTa (f) =f(b) - f(a); Na (f) 0; A (f) f(b)- f(a);