Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

490 Die Funktionen endlicher Variation.
Satz I. Damit f von endlicher Variation sei in [a, b], ist
notwendig und hinreichend, daß sowohl TTa(f) als auch Na(f)
endlich seien.
Aus ~ 4, Satz IV folgt:
Satz II. Ist f von endlicher Variation in [a, b], so auch
in jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b].
Aus den' Sätzen IX, X, XI von ~ 4 folgt:
Satz III. Sind fl und f2 von endlicher Variation in [a, b],
so auch fl+f2, fl-f2, fl'f, und, falls die untere Schranke
fl
von I f2 in [a, b] positiv ist, auch f
Aus ~ 4, Satz XII folgt:
Satz IV. Ist f von endlicher Variation in [a, b], so
auch |fl.
Aus ~ 4, Satz XIII folgt:
Satz V. Sind fl, f2,..., fk von endlicher Variation in [a, b],
und ist f der größte (kleinste) unter den k Funktionswerten
f, f2,..., f so ist auch f von endlicher Variation in [a, b].
Die Sätze III, IV, V erinnern an das Verhalten stetiger Funktionen.
Es sei darum eigens festgestellt, daß - entgegen dem Verhalten
stetiger Funktionen - die durch Zusammensetzung zweier Funktionen
f (x), g (y) endlicher Variation entstehende Funktion g (f (x)) nicht
notwendig von endlicher Variation ist').
Satz VI. Ist die Reihe
(0) f((x) (=f(x))
v=l
eigentlich konvergent im Punkte xo von [a, b], und ist die
1) Beispiel: Sei {x,} eine stets wachsende Zahlenfolge aus (0, 1) mit
lim x,, 1. Wir setzen noch x,= 0 und definieren f(x) in [0, 1] durch
l= c00
f(x2.) = 0; f(x2n-1) = -; f(1)= 0; f(x) linear in jedem Intervalle [x-1, x.]
(n==l, 2,....). Dann ist
~=e 1
also ist f von endlicher Variation in [0, 1]. Ist g (y) =-y, so ist
1
und somit ist g (f(x)) nicht von endlicher Variation in [0, 1] (vgl. ~ 6, S. 498). -
Selbstverständlich ist aber g (f (x)) von endlicher Variation,: wenn f monoton
und g von endlicher Variation.