Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 4. Variation, positive und negative Variation usw. 487
Satz VI. In Satz V kann die Beschränkung auf endliche
Intervallsysteme wegbleiben.
Sei in der Tat wieder A' die obere Schranke von A (S) für alle
endlichen, A" die obere Schranke von A(S) für alle Intervallsysteme aus [a, b]. Dann ist:
(XxX) A A'.
Ist p irgendeine Zahl <A", so gibt es ein Intervallsystem S, so daß
A (S)>p.
In S gibt es dann ein endliches Teilsystem S', so daß auch
A (S') >p.
Also ist auch A'>p, und da dies für jedes <A" gilt, ist:
(x X) A' A".
Die Ungleichungen (Xxx) und (xxx) ergeben A'=A", und Satz VI
ist bewiesen').
Sei wieder S ein Intervallsystem aus [a, b], bestehend aus den
Intervallen [xS, x'] (i =1 2,...). Wir bezeichnen mit coi die
Schwankung von f in [xi, xi'] (Kap. III, ~ 2. S, 190) und setzen2):
Q2 ( S)- Cou.
i
Dann gilt der Satz:
Satz VII3). Es ist Ab(f) die obere Schranke von 2(Z) für
alle endlichen Zerlegungen Z von [a, b].
Sei in der Tat Q: die obere Schranke von Q(Z) für alle endlichen Zerlegungen Z von [a, b]. Wegen:
Q (Z) A (Z)
ist dann:
(1) Q Aa(f).
Sei sodann p irgendeine Zahl < 2. Dann gibt es eine Zerlegung
Z, so daß:
Q(Z) >p.
Ist coi die Schwankung von f im Intervalle [xi-, xi] von Z, so
gibt es (Kap. III, ~ 2, Satz II) zu jedem e>0 in [xi_, xi zwei
1) Daraus folgt sofort, daß Aa (f) die obere Schranke von A(Z) nicht
nur für alle endlichen, sondern auch für alle Zerlegungen Z von [a, b] ist,
2) Da die Zerlegungen Z von [a, bJ spezielle Intervallsysteme sind, ist
hierdurch auch Q(Z) für alle Zerlegungen Z von [a, bj definiert.:) E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 298.