Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

486 Die Funktionen endlicher Variation.
und da Z, Z', Z, Unterzerlegungen von Z,, bzw. Z', bzw. Z' sind,
folgt aus (tt) und (ttt) vermöge Satz I:
Tr (f) lim P(Z); rY (f) lm P (Z); TT (f) lim P (Z").?' = =3 Y = 00 X =In C
Aus (tft) folgt also unmittelbar die Behauptung (t).
Aus Satz III entnimmt man sofort:
Satz IV. Für jedes Teilintervall [a', 1b] von [a, b] ist:
Aa'(f)_Af); A,a (f) (); N ( f)
Wir bezeichnen nun wieder als ein Intervallsystem aus [a, b]
jede Menge abzählbar vieler Teilintervalle [x', x] (i 1, 2,...) von
[a, b], die zu je zweien keinen inneren Punkt gemein haben. Besteht ein Intervallsystem nur aus endlich vielen Intervallen, so nennen
wir es ein endliches Intervallsystem.
Ist S ein Intervallsystem aus [a, b], bestehend aus den Intervallen
[x, x''] (i= 1, 2,...), so bilden wir:
A (S):f(x') - f(Z);
(S) = 1 f (x')- f (x); (S) 21 f (x')- f().
i+ iDann gilt der Satz:
Satz V. Es ist Ab(f) die obere Schranke von A(S), T(f)
die obere Schranke von P(S), Nb(f) die obere Schranke von
N(S) für alle endlichen Intervallsysteme S aus [a, b].
Es wird genügen, die Behauptung für A^ (f) nachzuweisen. Sei
A' die obere Schranke von A (S) für alle endlichen Intervallsysteme
aus [a, b]. Da jede endliche Zerlegung Z zugleich ein endliches
Intervallsystem S liefert, und Ab (f) die obere Shranke aller A (Z)
war, ist:
(x) A' Ab(f).
Andrerseits kann jedes endliche Intervallsystem S aus [a, b] durch
Hinzufügung endlich vieler Intervalle zu einer Zerlegung Z von
[a, b] ergänzt werden, für die dann offenbar:
A (Z) A (S)
ist. Also besteht zwischen den oberen Schranken der A(Z) und der
A (S) die Ungleichung:
(xx) Ab (f) e A'.
Die beiden Ungleichungen (x) und (XX) ergeben die Behauptung.