Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses. 477
Die Bedingung ist notwendig; denn ist (t) nicht erfüllt, so
ist (*) erst recht nicht erfüllt
Die Bedingung ist hinreichend; denn ist a nicht totalstetig
nach /k, so gibt es nach Satz V eine Folge {2,} von Intervallsystemen, so daß:
(tt) lim A(e)== 0; lim k((n) =0.
n= oo n-oo
Wegen:
A (n) = P ((in) + N (~n)
können dann nicht die beiden Gleichungen bestehen:
lir P (n) 0; lim N(J)= -.
n= oo n= oo
Nun gibt es aber in - je ein Teilsystem i und Ä", so daß:
P (n) = ) ('n); N(e)= - ((n).
Es können also auch nicht die beiden Gleichungen bestehen:
lim A ()= 0; lim (n)= 0,
n- n n-X
und da aus der zweiten Gleichung (tt) folgt:
lim k (,) -=0; lim uk() =-0,
n =oo n= oo
ist Satz VI bewiesen.
Wir haben am Ende von ~ 1 darauf hingewiesen, daß nicht
allgemein die Differenz A (7) von f im abgeschlossenen Intervalle $
mit dem Zuwachse (3) von f in diesem Intervalle übereinstimmt.
Wohl aber trifft dies für Funktionen von totalstetigem Absolutzuwachse zu. Es gilt der Satz:
Satz VII. Ist f von totalstetigem Absolutzuwachse in
der offenen Menge (M des 9, und ist 3 ein abgeschlossenes
Intervall von ( und 3* das aus den inneren Punkten von
Z bestehende offene Intervall, so ist:
(x) (S) = ( = a (S).
In der Tat, da der Absolutzuwachs a von f totalstetig nach 1uk
ist, so auch n und v. Wegen:, (S — 3*) - o
ist also:
(xx) (a) =I (s*); v () = (S*).
Nach Satz II ist a(3), mithin auch n(3) und v(3) endlich; aus