Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses. 473
(92, f)- lim r (2,f f); li m <(f, f,);
o= 00 o== 00:(9, fi + -f2) — lim 2(iZ, fi + f2);
n Er 00
(t, fi)-=lim v(~~, fi); Y(/, f2) =-liml Y(C), f2);
(g, f -i+ f)-lim Y (~., fi fu),
und da für jedes,, (xx) gilt, folgt hieraus durch Subtraktion die
behauptete Geichung (xxx), womit Satz IX bewiesen ist.
Es sei noch eigens erwähnt, daß keineswegs stets für ein abgeschlossenes Intervall 3:
b (3, f)= ((, f)
ist1); ferner daß nicht notwendig c (9), a(9I), v(9) Absolutfunktion,
Positivfunktion, Negativfunktion (Kap. VI, ~ 2, S. 404) von c(91) sind2).
~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses.
Wie in ~ 1 sei f eine in der offenen Menge ~ des 9k definierte
und endliche Funktion, a(X) ihr äußerer Absolutzuwachs auf der
Menge 1 aus (.
Mit da bezeichnen wir die nur aus dem Punkte a bestehende
Menge. Dann gilt:
Satz I. Ist 3 eine beschränkte und abgeschlossene
Menge aus (S, für die:
(0) ()z)= + oo
ist, dann gibt es in 91 auch einen Punkt a, so daß:
a()= +c00.
In der Tat, auf Grund des Borelschen Tjheorems (Kap. I, ~ 6,
Satz I) gibt es endlich viele abgeschlossene k-dimensionale Kugeln3)
1) Beispiel im 911: Sei 7 = [0,1] und f(x) 0 für x 1, f(x)== 1 für x > 1
Dann ist:
(S, f)= l; J(., =0o.
Vgl. hierzu ~ 2, Satz VII.
2) Beispiel im 91: Sei f(x)==0 für x =+ 0, f(0)=1. Dann ist a(1)= 2
oder 0, ()-==v(1) 1= oder 0, je nachdem 91 den Punkt 0 enthält oder
nicht, und es ist stets (Z) —=0. Näheres hierüber in einer demnächst erscheinenden Arbeit von E. Trilling.
3) Unter der k-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Mittelpunkt
(a", a",..., ak) und vom Radius r wird verstanden die Menge aller Punkte
(x1,. x2,..., Xk) des 9k, für die:..^)2 + (x-,2 +..(^A,)